Universität des Saarlandes Sommersemester 2001 Fachbereich Mathematik Prof. Dr. A. Arnold / M. Ehrhardt

10. Übungsblatt zur Vorlesung “Höhere Numerik” (Randwertprobleme: Grundlagen, Differenzenverfahren)

\underline{1. Aufgabe} (3 Punkte)

Welche Lösungen besitzt das Randwertproblem

y′′ + y = r(x), x ∈ [a, b], y(a) = α, y(b) = β

für folgende Daten?

a) [a, b] = [0, π], α = 0, β = 0, r(x) ≡ 0

b) [a, b] = [0, π/2], α = 1, β = 0, r(x) ≡ 0

c) [a, b] = [0, π], α = 0, β = 1, r(x) ≡ 0

d) [a, b] = [0, π/2], α = 0, β = 0, r(x) ≡ 0

e) [a, b] = [0, π/2], α = 0, β = 0, r(x) = x^{2}

f) [a, b] = [0, π], α = 0, β = 0, r(x) = x^{2}

\underline{2. Aufgabe} (1.5 Punkte)

Transformieren Sie das Randwertproblem

u′′ + p(x)u′ + q(x)u = f(x, u, u′)
u(a) = α , u(b) = β

in eines mit homogenen Randbedingungen.

\underline{3. Aufgabe} (3 Punkte)

Das Randwertproblem

−y′′ + p(x)y′ + q(x)y = r(x), a < x < b
u(a) = α, u(b) = β

mit p, q, r ∈ C([a, b]), 0 < q ≤ q(x) ∀x ∈ [a, b], soll mit einem Differenzenverfahren gelöst werden. Bestimmen Sie das Gleichungssystem, das man für die Näherungswerte an den äquidistanten Stellen x_{j} = a+jh erhält, wenn man die auftretenden Ableitungen mit zentralen Differenzenquotienten diskretisiert. Bestimmen Sie eine möglichst große Schranke M, so daß das Gleichungssystem für alle h mit 0 < h ≤ M eindeutig lösbar ist. Hinweis: Untersuchen Sie die Matrix auf strikte Diagonaldominanz.

\underline{4. Aufgabe} (2.5 Punkte)

Sei Ω =]0, 1[^{2} das Einheitsquadrat und Γ = ∂Ω der Rand von Ω. Stellen Sie das lineare Gleichungssystem auf, das durch Diskretisierung der Poisson–Gleichung

− △ u(x, y) = f(x, y) für (x, y) ∈ Ω
(∗)
u = 0  auf Γ

entsteht (dabei ist △ = \frac{∂^{2}}{∂x^{2}} + \frac{∂^{2}}{∂y^{2}} der Laplace–Operator). Überdecken Sie dazu Ω mit einem Gitter

Ω_{h} := {(x, y) = (ih, jh) | 1 ≤ i, j ≤ N − 1}

mit h = 1/N, N ∈ ℕ, und diskretisieren Sie zweite Ableitungen mit dem zentralen Differenzenquotienten. Wie sieht das Gleichungssystem aus, wenn auf Γ die Randbedingung u(x, y) = φ(x, y) vorgeschrieben wird?

Abgabe der Lösungen zu den theoretischen Aufgaben am Di, 12.6. vor der Vorlesung.