Universität des Saarlandes Sommersemester 2001 Fachbereich Mathematik Prof. Dr. A. Arnold / M. Ehrhardt

11. Übungsblatt zur Vorlesung “Höhere Numerik” (Randwertprobleme II)

\underline{1. Aufgabe} (3 Punkte)

Zeigen Sie, daß das Randwertproblem

−(k(x)u′)′ + q(x)u = f(x), 0 < x < ℓ
−k(0)u′(0) + βu(0) = μ_{1}
u(ℓ) = μ_{2}

maximal eine Lösung besitzt. Hierbei seien k(x) ≥ k^{∗} > 0, q(x) ≥ 0 und f(x) genügend glatt und die Konstanten β ≥ 0, μ_{1},μ_{2} ∈ ℝ gegeben.

\underline{2. Aufgabe} (4 Punkte (2+2))

Gegeben sei das Randwertproblem

y′′ = f(x), y(0) = y(1) = 0

mit f ∈ C[0, 1].

a) Zeigen Sie, daß sich die Lösung des Problems aus

y(x) = ∫_{0}^{1} g(x, ξ)f(ξ) dξ

mit

g(x, ξ) = \begin{cases}ξ (x − 1) & : 0 ≤ ξ ≤ x ≤ 1 \\ x (ξ − 1) & : 0 ≤ x ≤ ξ ≤ 1 \end{cases}

ergibt.

b) Zeigen Sie, daß für die Lösung des gestörten Randwertproblems

u′′ = f(x) + Δf(x), u(0) = u(1) = 0

mit

|Δf(x)| ≤ ε für x ∈ [0, 1]

der folgende Zusammenhang gilt:

|u(x) − y(x)| ≤ \frac{ε}{2} x(1 − x).

\underline{3. Aufgabe} (3 Punkte)

Gegeben sei die Randwertaufgabe

y′′ + p(x)y′ + q(x)y = r(x), a < x < b
y(a) = α, y(b) = β.

Sei y(·, s) die Lösung der Differentialgleichung zu den Anfangswerten

y(a, s) = α, y′(·, s)(a) = s

und

F (s) := y(b, s) − β.

Zeigen Sie: Ist das Randwertproblem eindeutig lösbar, so liefert das Sekantenverfahren

s_{j+1} = s_{j} − F (s_{j})\frac{s_{j} − s_{j−1}}{F (s_{j}) − F (s_{j−1})}

für beliebige Startvorgaben s_{0}, s_{1}, mit s_{0} ≠ s_{1}, bereits nach dem ersten Schritt die gesuchte Nullstelle von F.

\underline{4. Aufgabe} (Praktische Aufgabe) (5 Punkte)

Lösen Sie das nichtlineare Randwertproblem

y′′ = \frac{3}{2} y, 0 < x < 1
y(0) = 4 y(1) = 1.

mit dem einfachen Schießverfahren. Verwenden Sie zur Integration der auftretenden Anfangswertaufgaben einen Integrator ihrer Wahl (z.B. aus früherer Programmieraufgabe). Lösen Sie die nichtlinearen Gleichungssysteme mit dem Newton–Verfahren für verschiedene Startwerte −40 ≤ s^{(0)} ≤ 0. Benutzen die Schrittweiten h = 10^{−j}, j = 2, 3 und geben Sie jeweils die Näherungswerte und den absoluten Fehler an den Gitterpunkten aus.

Hinweis: Die beiden exakten Lösungen des Problems sind

y(x) = \frac{4}{(1 + x)^{2}}

y(x) = C_{1}^{2} (\frac{1 − cn(C_{1}x − C_{2}, k)}{1 + cn(C_{1}x − C_{2}, k)} − \frac{1}{\sqrt{3}}) ,

wobei cn(ξ, k) die Jacobische elliptische Funktion zum Modul k = \sqrt{2 + \sqrt{3}}/2 bezeichnet und die Integrationskonstanten die Werte

C_{1} = 4.30310990.... C_{2} = 2.33464196...

haben. Die Scilab–Funktion für die exakten Lösungen kann von der Webpage

http://www.num.uni-sb.DE/~ehrhardt/Ue_HoeNum/

heruntergeladen werden.

Abgabe der Lösungen zu den theoretischen Aufgaben am Di, 19.6. vor der Vorlesung. Abgabe der Lösungen zu der praktischen Aufgabe am Mo, 2.7. in den Sprechstunden.