Universität des Saarlandes Sommersemester 2001 Fachbereich Mathematik Prof. Dr. A. Arnold / M. Ehrhardt

12. Übungsblatt zur Vorlesung “Höhere Numerik” (Schießverfahren)

\underline{1. Aufgabe} (2.5 Punkte (1.5+1))

Die Randwertaufgabe

y′′ − y′ − 110y = 0, 0 < x < 10  (∗)
y(0) = 1, y(10) = 1  (∗∗)

soll mit einem Schießverfahren gelöst werden.

a) Berechnen Sie die exakte Lösung von (∗) zu den Anfangswerten y(0) = s_{1}, y′(0) = s_{2} und hiermit eine Lösung des Randwertproblems. Geben Sie s^{∗} := y′(0) zu den Randwerten (∗∗) an.

b) Welchen Wert ỹ(10) erhält man aus den Anfangswerten ỹ(0) = 1, ỹ′(0) = 10^{−9}−10? Interpretieren Sie das Ergebnis.

\underline{2. Aufgabe} (5 Punkte (1+1+1.5+1.5))

Betrachten Sie das Randwertproblem

y′′ − (y′)^{2} = 0, −1 < x < 1

mit y(−1) = 0 und y(1) = ln 10.

a) Geben Sie die Lösung des Anfangswertproblems y′′ − (y′)^{2} = 0, y(−1, s) = 0, y′(−1, s) = s an, und berechnen Sie ŝ so, daß y(x, ŝ) das Randwertproblem löst.

b) In welchem Bereich liegen die s, die zu einem Pol zwischen −1 und 1 führen?

c) Schreiben Sie die Newtoniteration zur Berechnung einer Nullstelle der Funktion y(1, s) − ln 10 in der Form s_{k+1} = T (s_{k}). Skizzieren Sie s ↦ T (s) sowie s ↦ s und berechnen Sie dann den Bereich der Startschätzungen, für die diese Fixpunktiteration konvergiert. Wo ist T kontraktiv? In welchem Bereich muß also die Startschätzung s_{0} liegen, damit das einfache Schießverfahren konvergiert?

d) Führen Sie die gleichen Überlegungen für das Rückwärtsschießen durch: Beginnen Sie mit den Startwerten am rechten Rand y(1, t) = ln 10 und y′(1, t) = t und suchen Sie die Nullstelle t̂ der Funktion y(−1, t).

\underline{3. Aufgabe} (2.5 Punkte (1+0.5+1) Gegeben sei das lineare Randwertproblem 2. Ordnung

y′′ − 100y = 0, 0 < x < 3
y(0) = 1, y(3) = e^{−30}.

a) Lösen Sie das Randwertproblem analytisch.

b) Welche Lösung y(x, s) erfüllt die Anfangsbedingung y(0) = 1 und y′(0) = s?

c) Wie verhält sich |y(3, s + Δs) − y(3, s)| im Vergleich zu Δs? Welche Schwierigkeiten ergeben sich hieraus für die numerische Realisierung des Schießverfahrens?

Abgabe der Lösungen zu den theoretischen Aufgaben am Di, 26.6. vor der Vorlesung.