Universität des Saarlandes Sommersemester 2001 Fachbereich Mathematik Prof. Dr. A. Arnold / M. Ehrhardt

2. Übungsblatt zur Vorlesung “Höhere Numerik” (Theoretische Grundlagen)

\underline{1. Aufgabe} (2.5 Punkte) Man bestimme die allgemeine Lösung des inhomogenen linearen Systems

(\begin{matrix}y_{1}(x) \\ y_{2}(x) \end{matrix})′ = (\begin{matrix}1 & 4 \\ 2 & 3 \end{matrix}) (\begin{matrix}y_{1}(x) \\ y_{2}(x) \end{matrix}) + (\begin{matrix}e^{x} \\ 0 \end{matrix}) , x ≥ 0.

Welche spezielle Lösung genügt den Anfangsbedingungen y_{1}(0) = 0.5, y_{2}(0) = 0 ? \underline{2. Aufgabe} (2.5 Punkte) Man diskutiere die Lösbarkeit des Anfangswertproblems

y′ = \sqrt{y}, x ≥ 0
y(0) = 0.

Man gebe eine Lösung an, die zusätzlich y(5) = 4 erfüllt. \underline{3. Aufgabe} (3 Punkte (1+2)) Sei D = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, |y| ≤ 1} , f : D → ℝ mit

f(x, y) = \begin{cases}2x & 0 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ y < 0 \\ 2x − 4\frac{y}{x} & 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y < x^{2} \\ −2x & 0 ≤ x ≤ 1, x^{2} ≤ y ≤ 1 \end{cases} .

a) Zeigen Sie, daß das Anfangswertproblem

(∗) \begin{cases}y′(x) & = f(x, y), (x, y) ∈ D \\ y(0) & = 0 \end{cases} .

eine Lösung besitzt.

b) Untersuchen Sie die Picard–Lindelöf–Iteration zur Bestimmung einer Lösung von

(∗) auf Konvergenz. \underline{4. Aufgabe} (2 Punkte) Mit Hilfe der Picard–Lindelöf–Iteration löse man das Anfangswertproblem

y′ = y cos x, x ≥ 0
y(0) = 1.

Abgabe der Lösungen zu den theoretischen Aufgaben am Di, 17.4. vor der Vorlesung.