Universität des Saarlandes Sommersemester 2001 Fachbereich Mathematik Prof. Dr. A. Arnold / M. Ehrhardt

4. Übungsblatt zur Vorlesung “Höhere Numerik” (Runge–Kutta–Methoden I)

\underline{1. Aufgabe} (2 Punkte)

Berechnen Sie mit dem klassischen Runge–Kutta–Verfahren 4. Ordnung vierstellige Näherungswerte y_{1}, y_{2} für die Lösung des Anfangswertproblems

y′ = y^{2} − x^{2}, x ≥ 0
y(0) = 1.

an den Stellen x_{1} = 0.1 und x_{2} = 0.2.

\underline{2. Aufgabe} (2 Punkte)

Bestimmen Sie alle Runge–Kutta–Verfahren der Gestalt

\begin{aligned}0 \\ 1/2 & a_{21} \\ 2/3 & a_{31} & a_{32} \\ & b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{aligned} ,

die die Ordnung 3 haben.

\underline{3. Aufgabe} (3 Punkte)

Wie lauten die Bedingungen für die vier Parameter a_{21}, b_{1}, b_{2} und c_{2} des 2–stufigen Runge–Kutta–Verfahrens

k_{1} = f(x_{m}, y_{m})
k_{2} = f(x_{m} + c_{2}h_{m}, y_{m} + h_{m}a_{21}k_{1})
y_{m+1} = y_{m} + h_{m}(b_{1}k_{1} + b_{2}k_{2}),

damit es maximale Ordnung besitzt? Als Spezialfälle sind sowohl die Methode von Heun als auch das modifizierte Euler–Verfahren abzuleiten. Man erkläre, daß die Ordnung höchstens 2 ist (vgl. Lemma 1 aus Kapitel 3.2). Leiten Sie das “optimale Verfahren” her, indem Sie die Summe der Koeffizientenbeträge im führenden Term der Fehlerentwicklung minimieren.

\underline{4. Aufgabe} (3 Punkte)

Auf das Anfangswertproblem

y′(x) = Ly(x),  y(0) = y_{0},  L ∈ ℝ,

werde ein beliebiges, s–stufiges Runge–Kutta–Verfahren mit der Approximationsordnung p = s angewendet. Zeigen Sie, daß bei Verwendung eines äquidistanten Gitters der Schrittweite h > 0 die Beziehung

y_{1} = y_{0} ∑_{j=0}^{s} \frac{(Lh)^{j}}{j!}

gilt.

Abgabe der Lösungen zu den theoretischen Aufgaben am Do, 3.5. vor der Vorlesung.