Universität des Saarlandes Sommersemester 2001 Fachbereich Mathematik Prof. Dr. A. Arnold / M. Ehrhardt

5. Übungsblatt zur Vorlesung “Höhere Numerik” (Runge–Kutta–Methoden II)

\underline{1. Aufgabe} (2 Punkte)

Man zeige mit Hilfe von Taylorentwicklungen, daß das durch die Verfahrensfunktion

F (x_{m}, y_{m}, h_{m}) = \frac{1}{6} (k_{1} + 4k_{2} + k_{3}),
k_{1} = f(x_{m}, y_{m}),
k_{2} = f(x_{m} + \frac{h_{m}}{2} , y_{m} + \frac{h_{m}}{2} k_{1}),
k_{3} = f(x_{m} + h_{m}, y_{m} + h_{m}(−k_{1} + 2k_{2}))

gegebene Einschrittverfahren (einfache Kutta–Regel) von 3. Ordnung ist.

\underline{2. Aufgabe} (2 Punkte)

Wir betrachten ein explizites, s–stufiges Runge–Kutta–Verfahren zur Lösung des Anfangswertproblems y′ = f(x, y), y(x_{0}) = y_{0} :

k_{i}(x, y) = f(x + c_{i}h_{m}, y + h_{m} ∑_{j=1}^{i−1} a_{ij}k_{j}(x, y)) mit ∑_{j=1}^{i−1} a_{ij} = c_{i},

y_{m+1} = y_{m} + h_{m} ∑_{i=1}^{s} b_{i}k_{i}(x_{m}, y_{m})

Zeigen Sie:

a) Gilt ∑_{i=1}^{s} b_{i} = 1, so besitzt das Verfahren die Ordnung 1.

b) Gilt zusätzlich ∑_{i=1}^{s} b_{i}c_{i} = \frac{1}{2}, so hat das Verfahren die Ordnung 2.

Bemerkung: Für höhere Ordnungen steigt die Anzahl der zu erfüllenden, nichtlinearen Bedingungsgleichungen rasch an. So sind für 3. Ordnung zusätzlich die Gleichungen

c1) ∑_{i=1}^{s} b_{i}c_{i}^{2} = \frac{1}{3}  und  c2) ∑_{i,j=1}^{s} a_{ij}b_{i}c_{j} = \frac{1}{6}

zu erfüllen, für Ordnung 4 kommen weitere 4 Gleichungen hinzu.

\underline{3. Aufgabe} (1 Punkt) Konstruieren Sie alle Runge–Kutta–Verfahren der Ordnung 2 in der Gestalt

\begin{aligned}0 \\ c_{2} & c_{2} \\ c_{3} & 0 & c_{3} \\ & 0 & 0 & 1 \end{aligned}

\underline{4. Aufgabe} (Praktische Aufgabe) (5 Punkte) Implementieren Sie das klassische Runge–Kutta–Verfahren 4. Ordnung und das 7–stufige Butcher–Verfahren 6. Ordnung :

0

\frac{1}{2}  \frac{1}{2}
\frac{2}{3}  \frac{2}{9}  \frac{4}{9}
\frac{1}{3}  \frac{7}{36}  \frac{2}{9} −\frac{1}{12}
\frac{5}{6} −\frac{35}{144} −\frac{55}{36}  \frac{35}{48}  \frac{15}{8}
\frac{1}{6} −\frac{1}{360} −\frac{11}{36} −\frac{1}{8}  \frac{1}{2}  \frac{1}{10}
1 −\frac{41}{260}  \frac{22}{13}  \frac{43}{156} −\frac{118}{39} \frac{32}{195} \frac{80}{39}
\frac{13}{200}  0  \frac{11}{40}  \frac{11}{40}  \frac{4}{25}  \frac{4}{25} \frac{13}{200}

Testen Sie Ihre Programme an dem Anfangswertproblem

\begin{aligned}y′ & = x^{2} + y^{2}, x ≥ 0 \\ y(0) & = y_{0}. \end{aligned}  (1)

Geben Sie die berechneten Näherungen y_{m} und die exakte Lösung an den Stellen x_{m} = \frac{m}{20}, m = 1, …, 20 aus. Hinweise:

a) Die exakte Lösung der Riccatische Differentialgleichung (1) ist

y(x) = x \frac{CJ_{−3/4}(\frac{x^{2}}{2} ) + J_{3/4}(\frac{x^{2}}{2} )}{J_{−1/4}(\frac{x^{2}}{2} ) − CJ_{1/4}(\frac{x^{2}}{2} )}, C = \frac{y_{0}}{2} \frac{Γ(1/4)}{Γ(3/4)},

wobei J_{ν} die Besselfunktionen und Γ die Gammafunktion bezeichnet.

b) Die Scilab–Funktion für die exakte Lösung von (1) kann von der Webpage

     http://www.num.uni-sb.DE/~ehrhardt/Ue_HoeNum/

heruntergeladen werden.

Abgabe der Lösungen zu den theoretischen Aufgaben am Di, 8.5. vor der Vorlesung. Abgabe der Lösungen zu der praktischen Aufgabe am Mo, 21.5. in den Sprechstunden.