Universität des Saarlandes Sommersemester 2001 Fachbereich Mathematik Prof. Dr. A. Arnold / M. Ehrhardt

6. Übungsblatt zur Vorlesung “Höhere Numerik” (Schrittweitensteuerung, eingebettete Runge–Kutta–Verfahren, implizite Runge–Kutta–Methoden)

\underline{1. Aufgabe} (2 Punkte)

Gegeben sei das 2–stufige Runge–Kutta–Verfahren

0 \frac{3}{4} \frac{3}{4} \frac{1}{3} \frac{2}{3} ,

das Konsistenzordnung 2 besitzt. Bestimmen Sie ein geeignetes Verfahren der Stufe 3, so daß die Kombination beider Vorschriften ein eingebettetes Runge–Kutta–Verfahren des Typs 2(3) ergibt.

\underline{2. Aufgabe} (3 Punkte)

Bestimmen Sie zur Methode von Heun 2. Ordnung

0 1 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} ,

die passende einparametrige Familie expliziter Runge–Kutta–Verfahren 3. Ordnung minimaler Stufenzahl (Parameter c_{3}) und leiten Sie damit einen Schätzwert für den lokalen Diskretisierungsfehler der Methode von Heun 2. Ordnung her. Ersetzen Sie dabei die unbekannten Werte k_{i}(x_{m}, y(x_{m})) durch die bekannten Näherungen k_{i}(x_{m}, y_{m}). Geben Sie auch die Ergebnisse für den Fall c_{3} = 0.5 an.

\underline{3. Aufgabe} (3 Punkte)

Zur Lösung des Anfangswertproblems y′ = f(x, y), y(x_{0}) = y_{0} sei für jedes p > 0 ein Einschrittverfahren p–ter Ordnung gegeben, welches für jeden Schritt die Rechenzeit pT_{0} benötigt und in x = X den Fehler Kh^{p} produziert. Die Konstanten K und T_{0} sollen vom jeweiligen Verfahren unabhängig sein. Man bestimme für p und einen vorgeschriebenen Fehler ε ≤ K in x = X die größtmöglichste Schrittweite h = h(p, ε) und die zugehörige Gesamtrechenzeit T = T (p, ε). Wie verhält sich T in Abhängigkeit von p und welches ist die optimale Konsistenzordnung p_{opt} = p_{opt}(ε)? Wie verhält sich p_{opt} in Abhängigkeit von ε?

\underline{4. Aufgabe} (2 Punkte)

Es gibt für s ∈ ℕ genau ein s–stufiges, implizites Runge–Kutta–Verfahren der Ordnung 2s.

a) Zeigen Sie dies für den Fall s = 1. Um welches Verfahren handelt es sich?

b) Vergleichen sie den Sachverhalt mit dem für explizite Runge–Kutta–Verfahren. Warum sind die impliziten Runge–Kutta–Verfahren dennoch für den allgemeinen Einsatz wenig interessant?

Abgabe der Lösungen zu den theoretischen Aufgaben am Di, 15.5. vor der Vorlesung.