Universität des Saarlandes Sommersemester 2001 Fachbereich Mathematik Prof. Dr. A. Arnold / M. Ehrhardt

7. Übungsblatt zur Vorlesung “Höhere Numerik” (Mehrschrittverfahren: Konsistenzordnung, Differenzengleichungen, Stabilität)

\underline{1. Aufgabe} (1 Punkt)

Zeigen Sie mit Hilfe der Fehlerabschätzung für die Newton–Cotes–Formeln, daß das Milne–Simpson–Verfahren

y_{m} − y_{m−2} = \frac{h}{3}(f_{m} + 4f_{m−1} + f_{m−2})

von 4. Ordnung ist.

\underline{2. Aufgabe} (2 Punkte)

Bestimmen Sie die Koeffizienten aller impliziten linearen 2–Schrittverfahren

a_{0}y_{m} + a_{1}y_{m−1} + a_{2}y_{m−2} = h(b_{0}f_{m} + b_{1}f_{m−1} + b_{2}f_{m−2})

mit b_{2} = 0 derart, daß sie maximale Ordnung haben. Untersuchen Sie die Stabilität des resultierendenVerfahrens. Warum ist allgemein 1 immer eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms?

\underline{3. Aufgabe} (4 Punkte (2+2))

Mehrschrittverfahren vom Adams–Typ beruhen darauf, in der Gleichung

y_{i+1} = y_{i} + ∫_{x_{i}}^{x_{i+1}} f(x, y(x)) dx

den Integranden f(x,y(x)) durch ein Interpolationspolynom vom Grad n zu ersetzen und dann exakt zu integrieren.

a) Bei den expliziten Adams–Bashforth–Verfahren wird das Polynom bestimmt von den Punkten (x_{i−n}, f_{i−n}), …, (x_{i}, f_{i}) mit f_{i} = f(x_{i}, u_{i}). Geben Sie das Polynom explizit an, und bestimmen Sie für n ∈ {0, 1} die Koeffizienten β_{j} von

u_{i+1} = u_{i} + h ∑_{j=0}^{n} β_{j}f(x_{i−j}, u_{i−j})

durch Integration. b) Bei den impliziten Adams–Moulton–Verfahren wird das Polynom bestimmt von

den Punkten. (x_{i+1−n}, f_{i+1−n}), …, (x_{i+1}, f_{i+1}). Geben Sie das Polynom explizit an, und bestimmen Sie für n ∈ {0, 1, 2} die Koeffizienten α_{j} von

u_{i+1} = u_{i} + h ∑_{j=0}^{n} α_{j}f(x_{i+1−j}, u_{i+1−j})

durch Integration.

c) Welche dieser Verfahren sind Ihnen bereits unter anderem Namen bekannt?

\underline{4. Aufgabe} (3 Punkte)

Bestimmen Sie in Abhängigkeit von a > 0 die Lösung der Differentialgleichung

y′′ − 2a y′ + a y = 0, y(0) = 0, y′(0) = 1.

Lösen Sie nun analog die Differenzengleichung

y_{n+2} − 2a y_{n+1} + a y_{n} = 0, y_{0} = 0, y_{1} = 1.

Für welche a > 0 ist die Differenzengleichung stabil?

\underline{5. Aufgabe} (Praktische Aufgabe) (5 Punkte)

Implementieren Sie das Prädiktor–Korrektor–Verfahren, das als Prädiktor das Adams– Bashforth–Verfahren

y_{m} − y_{m−1} = \frac{h}{12}(23f_{m−1} − 16f_{m−2} + 5f_{m−3})

und als Korrektor das Adams–Moulton–Verfahren

y_{m} − y_{m−1} = \frac{h}{24}(9f_{m} + 19f_{m−1} − 5f_{m−2} + f_{m−3})

verwendet. Testen Sie Ihr Programm an dem Anfangswertproblem der praktischen Aufgabe vom 3. Übungsblatt, wobei Sie als Schrittweiten h = 10^{−j} (j = 1, …, 4) verwenden und die Anlaufrechnungen einmal mit dem Euler–Verfahren und einmal mit dem klassischen Runge–Kutta–Verfahren 4. Ordnung durchführen. Geben Sie für jede Schrittweite die berechneten Näherungswerte und die exakte Lösung an den Stellen j/10 (j = 0, …, 19) nebeneinander in einer Tabelle aus.

Hinweise: Die exakte Lösung der Differentialgleichung ist y(x) = x + 1/(2 − x), x ≥ 0. Zum Vergleichen und Experimentieren kann das Programm Adams.sci von

         http://www.num.uni-sb.DE/~ehrhardt/Ue_HoeNum/

heruntergeladen werden.

Abgabe der Lösungen zu den theoretischen Aufgaben am Di, 22.5. vor der Vorlesung. Abgabe der Lösungen zu der praktischen Aufgabe am Do, 7.6. in den Sprechstunden 9–13 Uhr.