Universität des Saarlandes Sommersemester 2001 Fachbereich Mathematik Prof. Dr. A. Arnold / M. Ehrhardt

8. Übungsblatt zur Vorlesung “Höhere Numerik” (Integration steifer Differentialgleichungen I)

\underline{1. Aufgabe} (4 Punkte (2+2))

Bei der Lösung von steifen Differentialgleichungen erfordern Lösungsverfahren mit beschränkten Stabilitätsbereichen häufig zu kleine Schrittweiten, um sie effizient anzuwenden. Eine Gruppe von Verfahren, die dann eingesetzt werden können, sind die BDF-Verfahren (backward difference formula)

∑_{j=0}^{k} α_{j} η_{n+j} = hf_{n+k},

wobei die α_{j} so gewählt werden, daß eine möglichst hohe Ordnung erreicht wird. a) Zeigen Sie, daß der Stabilitätsbereich dieser Verfahren unbeschränkt ist.

b) Geben Sie für k = 1, 2 die Verfahrensvorschriften an und bestimmen Sie die Stabilitätsbereiche.

\underline{2. Aufgabe} (2 Punkte)

Man zeige: Die implizite Mittelpunktregel

η_{i+1} = η_{i} + hf (t_{i} + \frac{h}{2} , \frac{η_{i} + η_{i+1}}{2} )

ist uneingeschränkt A–stabil: Bei Anwendung auf y′ = λ(t)y mit Re λ(t) ≤ 0 ergibt sich

|η(t_{i+1}; h)| ≤ |η(t_{i}; h)| , i = 0, …, N − 1

für beliebiges h > 0.

\underline{3. Aufgabe} (4 Punkte (3+1))

Es sei folgendes 2–stufiges Runge–Kutta–Verfahren gegeben:

\frac{1}{4} \frac{1}{4}
\frac{3}{4} \frac{1}{2} \frac{1}{4}
\frac{1}{2} \frac{1}{2}

a) Überprüfen Sie, ob das Verfahren A–stabil ist.

b) Führen Sie mit dem Verfahren einen Integrationsschritt mit h = 1, x_{0} = 0, y_{0} = 1 für die Modellgleichung y′ = λy, λ < 0 durch.

Abgabe der Lösungen zu den theoretischen Aufgaben am Di, 29.5. vor der Vorlesung.