Universität des Saarlandes Sommersemester 2001 Fachbereich Mathematik Prof. Dr. A. Arnold / M. Ehrhardt

9. Übungsblatt zur Vorlesung “Höhere Numerik” (Integration steifer Differentialgleichungen II)

\underline{1. Aufgabe} (2 Punkte)

Verifizieren Sie, daß die Stabilitätsfunktion des klassischen Runge–Kutta–Verfahrens 4. Ordnung durch das Polynom

g(z) = 1 + z + \frac{1}{2}z^{2} + \frac{1}{6}z^{3} + \frac{1}{24}z^{4}

gegeben ist.

\underline{2. Aufgabe} (5 Punkte (2+2+1)

Gegeben sei die lineare homogene DGL 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

y′ = Ay mit A = (\begin{matrix}−500.5 & 499.5 \\ 499.5 & −500.5 \end{matrix}) .

a) Bestimmen Sie ein Fundamentalsystem der DGL y′ = Ay. Berechnen Sie dazu die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix A und entkoppeln Sie das System.

b) Bestimmen Sie das Gebiet der absoluten Stabilität des Euler–Verfahrens. D.h. wie klein muß die Schrittweite h mindestens gewählt werden, damit

ρ(I + hA) < 1

gilt. (Woher kommt dieses Kriterium?)

c) Rechnen Sie einen Schritt des Euler–Verfahrens für das AWP y′ = Ay, y(0) = (2, 0)^{⊤} mit der Schrittweite h = 0.002. Vergleichen Sie die Näherung mit der exakten Lösung.

\underline{3. Aufgabe} (3 Punkte (1.5+1.5))

Man zeige, daß die explizite Mittelpunktregel

η_{i+1} = η_{i−1} + 2hf(t_{i}, η_{i})

und das Milne–Simpson–Verfahren

η_{i+1} = η_{i−1} + \frac{h}{3}(f(t_{i−1}, η_{i−1}) + 4f(t_{i}, η_{i}) + f(t_{i+1}, η_{i+1}))

kein reelles Intervall der absoluten Stabilität besitzen.

\underline{4. Aufgabe} (Praktische Aufgabe) (5 Punkte (1+4)) Gegeben sei die Aufgabe

v′′ + 40y − 2 + x^{2} = 0
(2 − x^{2})y′′ − v = 0

mit den Randbedingungen

v(1) = v′(1) = y′(0) = v′(0) = 0

Lösen Sie dieses Randwertproblem mit einem geeigneten Differenzenverfahren, und zwar a) per Hand/Taschenrechner für die Schrittweite h = 0.5,

b) per Programm für die Schrittweiten h = 0.2, h = 0.1, h = 0.02. Geben Sie jeweils tabellarisch die Näherungswerte aus. Bemerkung: Dieses Randwertproblem kommt von der Biegung eines elastisch gebetteten Stabes; die numerische Lösung eines ähnlichen Problems kann man auf der Webpage

http://numawww.mathematik.tu-darmstadt.de:8081/numerik/gdgl/balkentext.html

ausprobieren. Zum Vergleichen und Experimentieren kann die Scilab–Routine bvode benutzt werden.

Abgabe der Lösungen zu den theoretischen Aufgaben am Di, 5.6. vor der Vorlesung. Abgabe der Lösungen zu der praktischen Aufgabe am Mo, 18.6. in den Sprechstunden.