Universität des Saarlandes Sommersemester 2000 Fachbereich Mathematik Prof. Dr. A. Arnold / M. Ehrhardt

4. Übungsblatt zur Vorlesung “Theorie und Numerik hyperbolischer Erhaltungsgleichungen” (Nichtlineare Systeme: Verdünnungswellen und Integralkurven)

\underline{1. Aufgabe:}

Leiten Sie die folgenden Ausdrücke

ρ(ξ) = ρ_{l} e^{(ξ−ξ_{1})/a},  (1)
m(ξ) = ρ_{l}(ξ − a) e^{(ξ−ξ_{1})/a},  (2)

also

m(ρ) = ρm_{l}/ρ_{l} + aρ log(ρ/ρ_{l})  (3)

für 2-Verdünnungswellen im u-Raum der isothermen Eulergleichungen

(\begin{matrix}ρ \\ m \end{matrix})_{t} + (\begin{matrix}m \\ m^{2}/ρ + a^{2}ρ \end{matrix})_{x} = 0.  (4)

her. Benutzen Sie dazu

r_{2}(u) = (\begin{matrix}1 \\ m/ρ + a \end{matrix}) ,  ∇_{u}λ_{2}(u) · r_{2}(u) = a/ρ.  (5)

\underline{2. Aufgabe:}

Überprüfen Sie anhand von (3), daß m′(ρ_{l}) = λ_{2}(u_{l}) gilt und erklären Sie, warum dies so sein muß.