Universität des Saarlandes Sommersemester 2000 Fachbereich Mathematik Prof. Dr. A. Arnold / M. Ehrhardt

6. Übungsblatt zur Vorlesung “Theorie und Numerik hyperbolischer Erhaltungsgleichungen” (Numerik linearer Systeme: Numerische Diffusion und Dispersion)

\underline{1. Aufgabe:}

Zeigen Sie, daß das Lax-Wendroff-Schema

U_{j}^{n+1} = U_{j}^{n} − \frac{k}{2h}A(U_{j+1}^{n} − U_{j−1}^{n}) + \frac{k^{2}}{2h^{2}} A^{2}(U_{j+1}^{n} − 2U_{j}^{n} + U_{j−1}^{n})  (1)

eine Approximation dritter Ordnung zu der modifizierten Gleichung

u_{t} + Au_{x} = \frac{h^{2}}{6} A (\frac{k^{2}}{h^{2}} A^{2} − I) u_{xxx}  (2)

ist. Programmieren Sie das Schema (1) für das Problem

u_{t}(x, t) + u_{x}(x, t) = 0,
u(1, t) = u(−1, t) für t ∈ [0, ∞)

und untersuchen Sie, was in den folgenden zwei Situationen passiert:

1. u(x, 0) = x^{2}/2 (x^{2}/2 − 1), x ∈ [−1, 1] mit k = 1/50 und h = 1/30

2. u(x, 0) = 1, x ∈ [−1, 0) und u(x, 0) = 0, x ∈ [0, 1] mit k = 1/200 und h = 1/100.

Plotten Sie das Resultat am Zeitpunkt T =2 und kommentieren Sie es in Hinblick auf (2).

\underline{2. Aufgabe:}

Berechnen Sie die modifizierte Gleichung der expliziten Euler-Methode

U_{j}^{n+1} = U_{j}^{n} − \frac{k}{2h}A(U_{j+1}^{n} − U_{j−1}^{n}).

Erklären Sie, weshalb diese Methode für alle k/h instabil sein wird.