Universität des Saarlandes Sommersemester 2000 Fachbereich Mathematik Prof. Dr. A. Arnold / M. Ehrhardt

7. Übungsblatt zur Vorlesung “Theorie und Numerik hyperbolischer Erhaltungsgleichungen” (Konservative Verfahren: Konsistenz)

\underline{1. Aufgabe:}

Zeigen Sie, daß das modifizierte Upwind-Schema

U_{j}^{n+1} = U_{j}^{n} − \frac{k}{h}U_{j}^{n}(U_{j}^{n} − U_{j−1}^{n})  (1)

zum Lösen der Burgers Gleichung in der quasilinearen Form

u_{t} + uu_{x} = 0  (2)

(unter der Annahme u(x, t) ≥ 0 für alle x, t) konsistent ist zu den beiden Gleichungen

u_{t} + (\frac{1}{2}u^{2})_{x} = 0,  (3)
(u^{2})_{t} + (\frac{2}{3}u^{3})_{x} = 0,  (4)

die jedoch andere Schockgeschwindigkeiten besitzen.

\underline{2. Aufgabe:}

Überprüfen Sie, daß der Lax-Friedrichs-Fluß

F (U_{j}^{n}, U_{j+1}^{n}) = \frac{h}{2k} (U_{j}^{n} − U_{j+1}^{n}) + \frac{1}{2}(f(U_{j}^{n}) + f(U_{j+1}^{n}))  (5)

konsistent ist (inklusive der Lipschitz-Stetigkeit).