Universität des Saarlandes Sommersemester 2000 Fachbereich Mathematik Prof. Dr. A. Arnold / M. Ehrhardt

9. Übungsblatt zur Vorlesung “Theorie und Numerik hyperbolischer Erhaltungsgleichungen” (Konvergenz skalarer Verfahren: Stabilität)

\underline{1. Aufgabe:}

Zeigen Sie die Identität

∥U∥_{1} = ∥ũ∥_{1},

wobei U = {U_{j}} ∈ l_{1} eine Gitterfunktion sei mit

∥U∥_{1} = h ∑_{j=−∞}^{∞} |U_{j}| , l_{1} = {U : ∥U∥_{1} < ∞},

und die Erweiterung von U zu einer stückweisen konstanten Funktion ũ(x) = U_{j} für x_{j−1/2} ≤ x < x_{j+1/2} ist. Überprüfen Sie ferner, daß

∥U∥_{1} ≤ ∥u∥_{1}

gilt, falls man andererseits u(x) auf eine Gitterfunktion U durch Bildung des Zellenmittels

U_{j} = ū_{j} ≡ \frac{1}{h} ∫_{x_{j−1/2}}^{x_{j+1/2}} u(x) dx

beschränkt.

\underline{2. Aufgabe:}

Zeigen Sie, daß das Lax-Friedrichs-Schema

U_{j}^{n+1} = \frac{1}{2}(U_{j−1}^{n} + U_{j+1}^{n}) − \frac{k}{2h}(f(U_{j+1}^{n}) − f(U_{j−1}^{n}))

l_{1}-kontrahierend ist, falls die CFL-Bedingung |kf′(u)/h| ≤ 1 für alle u im Bereich min_{j}(U_{j}^{n}, V_{j}^{n}) ≤ u ≤ max_{j}(U_{j}^{n}, V_{j}^{n}) erfüllt ist.