Universität des Saarlandes Wintersemester 1999/2000 Fachbereich Mathematik Prof. Dr. A. Arnold / M. Ehrhardt

1. Übungsblatt zur Vorlesung “Modellierung mit Differentialgleichungen” (Skalierung)

\underline{1. Aufgabe:}

Es soll der Strömungswiderstand (d.h. die Widerstandskraft) F_{W} einer Kugel gemessen werden. Wir nehmen an, daß F_{W} durch den Kugeldurchmesser D, die Anströmgeschwindigkeit c, die Dichte des Fluids ρ und die kinematische Zähigkeit ν bestimmt wird:

F_{W} = f(D, c, ρ, ν).  (1)

Die kinematische Zähigkeit hat die Dimension m^{2}s^{−1}. Geben Sie eine dimensionslose Form von (1) an, indem Sie Durchmesser, Zähigkeit und Geschwindigkeit als Referenzgrößen verwenden.

\underline{2. Aufgabe:}

Betrachten Sie die Schrödinger Gleichung

iℏ\frac{∂ψ}{∂t} = −\frac{ℏ^{2}}{2m}Δψ + V ψ und ψ(x, 0) = ψ_{0}(x)

mit ψ(x, t) als Wellenfunktion (Dimension m^{− \frac{3}{2}} ), m als Masse und ℏ als Plancksches Wirkungsquantum (Dimension Js = kg m^{2}s^{−1}). Skalieren Sie die Gleichung für:

\begin{matrix}(a) & V ≡ 0, & x ∈ ℝ^{3}, & t ∈ ℝ^{+}, \\ (b) & V ≡ 0, & x ∈ [0, L], & t ∈ [0, T], \\ (c) & V (x) = mω^{2}∥x∥^{2}, & x ∈ ℝ^{3}, & t ∈ ℝ^{+}, [ω] = s^{−1}. \end{matrix}

\underline{3. Aufgabe:}

Ein an einer ebenen Behälterwand angebrachter konischer Wärmestrahler taucht vollständig in eine Flüssigkeit ein und erwärmt diese. Die Temperatur T entlang der Achse des Strahlers genügt der Differentialgleichung

(x^{2}T′)′ = \frac{2α}{R}\sqrt{L^{2} + R^{2}} (T − T_{F}) x, x ∈ (0, L)

mit den Randbedingungen T′(0) = 0 und T (L) = T_{W}. Dabei sind L die Länge des Strahlers, R der Radius der Grundfläche des Strahlers, T_{F} die Temperatur der Flüssigkeit, T_{W} die Temperatur an der Wand, α eine Größe der Dimension cm^{−1}. (Es ist α = h/k mit h die konvektive Wärmeübertragung und k der Wärmeleitkoeffizient des Strahlers.) Ersetzen Sie x und T durch geeignete dimensionslose Größen s, ϑ ∈ (0, 1) und geben Sie damit eine dimensionslose Formulierung des Problems an. (Hinweis: Ansatz für ϑ: T (ϑ) = T_{F} + (T_{W} − T_{F}) ϑ)

\underline{4. Aufgabe:}

Betrachten Sie die Van–der–Pol Gleichung

LC \frac{d^{2}E}{dτ^{2}} + RC \frac{dE}{dτ} + E = Mσ \frac{dE}{dτ} (1 − \frac{E^{2}}{E_{s}^{2}} )

mit E, E_{s} als Spannungen (V_{olt} = JA^{−1}s^{−1}), τ als Zeit (Sekunden s), L, M als Induktivitäten (H_{enry} = JA^{−2}), C als Kapazität (F_{arad} = J^{−1}A^{2}s^{2}), R als Widerstand (Ω = JA^{−2}s^{−1}) und σ als Impedanz (J^{−1}A^{2}s). Skalieren Sie die Gleichung im (J, A, s)– System auf

\frac{d^{2}y}{dt^{2}} − α (±1 − y^{2}) \frac{dy}{dt} + y = 0.