Universität des Saarlandes Wintersemester 1999/2000 Fachbereich Mathematik Prof. Dr. A. Arnold / M. Ehrhardt

2. Übungsblatt zur Vorlesung “Modellierung mit Differentialgleichungen” (Regulär und singulär gestörte Probleme)

\underline{1. Aufgabe:}

Für welche α ∈ ℝ sind die folgenden Anfangswertprobleme regulär bzw. singulär gestört? Berechnen Sie ggf. die asymptotischen Entwicklungen (und lesen Sie daraus die exakte Lösung ab).

\begin{matrix}(a) & ε y′ + y = x, & x > 0, & y(0) = α; \\ (b) & y′ + ε y = x, & x > 0, & y(0) = α; \\ (c) & y′ + y = ε x, & x > 0, & y(0) = α. \end{matrix}

\underline{2. Aufgabe:}

Betrachten Sie die Gleichung

y′ + y = ε y^{2}, x > 0, y(0) = 1.

Bestimmen Sie die exakte Lösung y und die ersten drei Terme y_{k}, (k = 0, 1, 2) einer asymptotischen Entwicklung der Lösung. Vergleichen Sie y und ∑_{k=0}^{2} y_{k} ε^{k} mittels einer Reihendarstellung von y. Wie groß ist der Gültigkeitsbereich der Reihendarstellung?

\underline{3. Aufgabe:}

Betrachten Sie die Duffingsche Gleichung

ü + u + ε u^{3} = 0, u(0) = a, u̇(0) = 0.

(Die Duffing–DGL ü + α u + β u^{3} = 0 beschreibt u.a. die Bewegungsgleichung eines ungedämpften Federpendels mit kubisch von der Auslenkung abhängiger Rückstellkraft.) Bestimmen Sie die ersten zwei Terme einer asymptotischen Entwicklung der Lösung. (Hinweis: cos^{3} t = (cos 3t + 3 cos t)/4) Wie verhält sich die Entwicklung für t → ∞ ? Zeigen Sie durch Multiplikation der Gleichung mit u̇ und Integration über [0, T] (für T ∈ ℝ beliebig), daß die exakte Lösung der Gleichung gleichmäßig beschränkt ist.