Universität des Saarlandes Wintersemester 1999/2000 Fachbereich Mathematik Prof. Dr. A. Arnold / M. Ehrhardt

3. Übungsblatt zur Vorlesung “Modellierung mit Differentialgleichungen” (Grenzschichtprobleme I)

\underline{1. Aufgabe:}

Wir betrachten noch einmal die Duffingsche Gleichung (vgl. 2. Übungsblatt)

ü + u + ε u^{3} = 0, u(0) = a, u̇(0) = 0.

Berechnen Sie die ersten beiden Terme einer asymptotischen Entwicklung in u und t:

u = u_{0} + ε u_{1} + O(ε^{2}) und t = s (1 + ε ω_{1} + O(ε^{2})).

Wählen Sie ω_{1} derart, daß die Entwicklung gleichmäßig in s ist.

\underline{2. Aufgabe:}

Betrachten Sie die Gleichung

−ε y′′ + b\sqrt{ε} y′ + y = 0, x ∈ (0, 1) − \sqrt{ε} y′(0) + b y(0) = 1, y(1) = 1.

Wo können Grenzschichten auftreten? Bestimmen Sie eine Näherungslösung.

\underline{3. Aufgabe:}

Betrachten Sie das Randwertproblem

−ε u′′ + (x − \frac{1}{2}) u′ = 0, x ∈ (0, 1), u(0) = α, u(1) = β, (α ≠ β).

Lösen Sie das Problem. (Dabei wird sich ein Integral nicht explizit darstellen lassen.) Zeigen Sie, daß die Lösung eine Symmetrie aufweist: u(x) + u(1 − x) = C für ein C ∈ ℝ. Lösen Sie das Problem als singulär gestörtes Problem und nutzen Sie die Symmetrie aus.