Universität des Saarlandes Wintersemester 1999/2000 Fachbereich Mathematik Prof. Dr. A. Arnold / M. Ehrhardt

4. Übungsblatt zur Vorlesung “Modellierung mit Differentialgleichungen” (Grenzschichtprobleme II)

\underline{1. Aufgabe:}

Wir betrachten das Randwertproblem

−ε u′′ − u′ = 0, x ∈ (0, 1), u(0) = 0, u(1) = 1.

(a) Berechnen Sie die exakte Lösung u_{ε} des RWPs.

(b) Berechnen Sie lim_{ε→0} u_{ε}(x) für beliebiges x ∈ (0, 1] sowie u_{ε}(0).

(c) Zeigen Sie, daß u_{ε} Grenzschichtverhalten an x = 0 hat.

(d) Transformieren Sie das Problem auf homogene Randbedingungen und geben Sie seine schwache Formulierung in H_{0}^{1}(0, 1) an. Ist die zugehörige Bilinearform symmetrisch und/oder positiv definit?

(e) Zur numerischen Lösung kann man die Ableitungen wie folgt approximieren:

u′′(x) ≈ \frac{u(x + h) − 2 u(x) + u(x − h)}{h^{2}}, u′(x) ≈ \frac{u(x + h) − u(x − h)}{2 h}, h > 0.

Wie sieht dann die Näherungslösung u_{j} ≈ u(jh), j = 0, …, n, h = 1/n aus? (Hinweis: Ansatz u_{j} = ρ^{j}.) Vergleichen Sie lim_{h→0} u_{1} mit lim_{h→0} u(h).

(f) Untersuchen Sie das Gleiche für die Diskretisierung

u′′(x) ≈ \frac{u(x + h) − 2 u(x) + u(x − h)}{h^{2}}, u′(x) ≈ \frac{u(x) − u(x − h)}{h}.

\underline{2. Aufgabe:}

Betrachten Sie die Gleichung

−ε^{2} u′′ + u = f, u(0) = 0, u(1) = 1 und f(x) = \{ \begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix} für \begin{matrix}0 < x ≤ \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} < x < 1 \end{matrix} .

Lösen Sie das Randwertproblem. Wo hat man es mit einer Grenzschicht zu tun? Bestimmen Sie die reduzierte Lösung sowie die Grenzschichtlösung.

\underline{3. Aufgabe:} Wir betrachten die Funktion aus Beispiel 1.9 Skript:

u_{ε}(x) = x (\frac{e^{−x/ε}}{x + ε^{2}} + 1) , x ∈ [0, 1].

Zeigen Sie:

• ū mit ū(x) = x erfüllt die Bedingung aus Satz 1.5 Skript.

• ξ_{1} = x/ε, ξ_{2} = x/ε^{2} sind Grenzschichtvariablen. Berechnen Sie die lokalen Grenzwerte von u_{ε} bezüglich ξ_{1}, ξ_{2} und deren Definitionsbereiche.

• Die Koeffizientenfunktionen ū_{1}, ũ_{1}, û_{1} in der asymptotischen Entwicklung von u_{ε} (vgl. Seite 16 Skript) haben die Darstellungen:

ū_{1}(x) = 0, ũ_{1}(ξ_{1}) = \frac{1 − e^{−ξ_{1}}}{ξ_{1}} , û_{1}(ξ_{2}) = \frac{1}{1 + ξ_{2}} .