Universität des Saarlandes Wintersemester 1999/2000 Fachbereich Mathematik Prof. Dr. A. Arnold / M. Ehrhardt

5. Übungsblatt zur Vorlesung “Modellierung mit Differentialgleichungen” (Burgers und ähnliche Gleichungen)

\underline{1. Aufgabe:}

Sei I ein offenes Intervall und seien f, g ∈ C^{1}(ℝ). Betrachten Sie das Anfangswertproblem

u_{t} + g(u)u_{x} = 0 in I × ℝ, u(t = 0, x) = f(x)

und zeigen Sie: Unter der Annahme, daß es (t_{0}, x_{0}, u_{0}) ∈ I × ℝ^{2} gibt mit

u_{0} = f(x_{0} − t_{0} g(u_{0})) und 1 + f′(x_{0} − t_{0} g(u_{0})) g′(u_{0}) t_{0} ≠ 0

hat das Anfangswertproblem um (t_{0}, x_{0}) ∈ I × ℝ eine eindeutige Lösung. Lösen Sie damit die nicht–viskose Burgers Gleichung u_{t} + uu_{x} = 0 für (t, x, u) ∈ ℝ^{3}, t ≠ 1, mit u(t = 0, x) = −x.

\underline{2. Aufgabe:}

Betrachten Sie die Burgers Gleichung

u_{t} + (\frac{u^{2}}{2} )_{x} = εu_{xx}, x ∈ ℝ, t ∈ ℝ^{+}.

Untersuchen Sie die sog. Travelling–Waves Lösungen, d.h. u(ξ) mit ξ = x − ct. Zeigen Sie: Unter der Annahme u(−∞) = u_{−} ∈ ℝ und u′(−∞) = 0 genügt u(ξ) der Riccatigleichung

εu′ = \frac{1}{2}(u − c)^{2} − \frac{1}{2}(u_{−} − c)^{2},  u(−∞) = u_{−}.  (1)

Eine stationäre Lösung der Gleichung ist natürlich u ≡ u_{−}. Zeigen Sie, daß (1) i.a. eine zweite stationäre Lösung u ≡ u_{+} besitzt. Lösen Sie (1). Unter welchen Bedingungen existiert eine Lösung, die u_{−} mit u_{+} verbindet?

\underline{3. Aufgabe:}

Betrachte Sie nun die Korteweg–de–Vries Gleichung

u_{t} + (\frac{u^{2}}{2} )_{x} = δu_{xxx}, x ∈ ℝ, t ∈ ℝ^{+}.

Stellen Sie auch hier eine Travelling–Waves Gleichung auf. Multiplikation mit u′ und Integration unter der Annahme u(−∞) = u_{−} ∈ ℝ und u′(−∞) = 0 liefert eine ähnliche DGL wie zuvor. Betrachten Sie das Phasenbild der DGL, d.h. tragen Sie v = u′ gegen u auf und diskutieren Sie, ob es eine Verbindung von u_{−} nach u_{+} gibt.