Universität des Saarlandes Wintersemester 2001/2002 Fachrichtung 6.1 – Mathematik Dr. M. Ehrhardt

1. Übungsblatt zur Vorlesung “Numerik partieller Differentialgleichungen” (Typeneinteilung, Variablentransformation)

\underline{1. Aufgabe} (4 Punkte (2+2))

a) Klassifizieren Sie die partiellen Differentialgleichungen

u_{xx} + 2 u_{xy} + 2 u_{yy} + 4 u_{yz} + 5 u_{zz} + u_{x} + u_{y} = 0
e^{z} u_{xy} − u_{xx} = log(x^{2} + y^{2} + z^{2})

gemäß den Konventionen aus Kapitel 1.2 der Vorlesung.

b) Klassifizieren Sie ebenso die partiellen Differentialgleichungen

u_{xx} + 4 u_{xy} + 3 u_{yy} + 3 u_{x} − u_{y} + 2 u = 0
a u_{xx} + 2a u_{xy} + a u_{yy} + b u_{x} + c u_{y} + u = 0.

\underline{2. Aufgabe} (4 Punkte)

Zeigen Sie, daß der Laplace–Operator in Polarkoordinaten die folgende Gestalt hat:

Δu = \frac{1}{r} \frac{∂}{∂r} (r \frac{∂u}{∂r} ) + \frac{1}{r^{2}} \frac{∂^{2}u}{∂θ^{2}} .

\underline{3. Aufgabe} (2 Punkte)

Man bestimme die Bereiche der (x, y)–Ebene, in denen die Gleichung

(1 + x) u_{xx} + 2xy u_{xy} + y^{2} u_{yy} + u_{x} = 0

elliptisch, hyperbolisch oder parabolisch ist. Zeichne diese.

Abgabe der Lösungen zu den theoretischen Aufgaben am Di, 30.10. vor der Vorlesung.