Universität des Saarlandes Wintersemester 2001/2002 Fachrichtung 6.1 – Mathematik Dr. M. Ehrhardt

10. Übungsblatt zur Vorlesung “Numerik partieller Differentialgleichungen” (Ansatzräume, Galerkin–Verfahren)

\underline{1. Aufgabe} (2 Punkte (1+1))

Es sei V = {v ∈ H^{1}(0, 1) : v(0) = 0}. Wir wählen als Ansatzraum V_{h} = Span{ϕ_{j}, j = 1, …, N} mit

ϕ_{j}(x) = max(0, 1 − |Nx − j|), x ∈ [0, 1], j = 1, …, N.

a) Zeigen Sie: V_{h} ⊂ V.

b) Beweisen Sie, daß V_{h} ein N–dimensionaler Unterraum von V ist.

\underline{2. Aufgabe} (5 Punkte (1+1+1+1+1))

Gegeben sei das Randwertproblem

−Δu = π^{2} cos(πx), (x, y) ∈ Ω = (0, 1)^{2}
\frac{∂u}{∂n} = 0 auf ∂Ω.

a) Geben Sie eine schwache Formulierung an.

b) Das Randwertproblem hat eine eindeutige Lösung, falls man zusätzlich ∫_{Ω} u = 0 fordert. Als Basisfunktionen wählen wir

b_{1}(x, y) = x − \frac{1}{2}, b_{2}(x, y) = (x − \frac{1}{2})^{3}.

Zeigen Sie, daß die zugehörigen Ansatzfunktionen die obige Bedingung erfüllen.

c) Berechnen Sie die zugehörige Steifigkeitsmatrix und die Näherung der rechten Seite.

d) Berechnen Sie die Näherungslösung u_{h}.

e) Zeigen Sie, daß \frac{∂u_{h}}{∂n} (0, y) ≠ 0 gilt.

\underline{3. Aufgabe} (3 Punkte (1+1+1))

Gegeben sei das Randwertproblem

−u′′ = 1, x ∈ (0, 1)
u(0) = 0, u′(1) = 0.

Als angepaßter Funktionenraum wird V = {v ∈ H^{1}(0, 1) : v(0) = 0} gewählt. Als Ansatzfunktionen seien ϕ_{j} = x^{j}/j, j = 1, …, N gewählt. Sei nun h = 1/N und

V_{h} = Span{ϕ_{j}, j = 1, …, N}.

a) Zeigen Sie: V_{h} ⊂ V.

b) Berechnen Sie die zu V_{h} zugehörige Steifigkeitsmatrix des Galerkin–Verfahrens.

c) Berechnen Sie mit Matlab bzw. Scilab die Kondition der Steifigkeitsmatrix für N = 10 und interpretieren Sie das Ergebnis.

\underline{4. Aufgabe} (Praktische Aufgabe) (5 Punkte)

Gegeben sei das Randwertproblem

−(a(x)u′)′ = 1, x ∈ (−1, 1), u(−1) = u(1) = 0

mit

a(x) = \begin{cases}1, & −1 ≤ x < 0, \\ 0.5, & 0 ≤ x ≤ 1. \end{cases}

a) Diskretisieren Sie das Randwertproblem mittels linearer finiter Elemente auf einem äquidistanten Gitter der Schrittweite h.

b) Geben Sie das diskrete Gleichungssystem an.

c) Lösen Sie das diskrete System für die Schrittweiten h = 1/10, 1/20 und geben Sie die Lösung graphisch aus.

Für die Lösung können Sie die PDE–Toolbox für Matlab bzw. die FreeFEM–Toolbox für Scilab benutzen.

Abgabe der Lösungen zu den theoretischen Aufgaben am Di, 15.1. vor der Vorlesung. Abgabe der Lösungen zu der praktischen Aufgabe am Mo, 28.1. in den Sprechstunden.