Universität des Saarlandes Wintersemester 2001/2002 Fachrichtung 6.1 – Mathematik Dr. M. Ehrhardt

11. Übungsblatt zur Vorlesung “Numerik partieller Differentialgleichungen” (Steifigkeitsmatrix, Triangulierung)

\underline{1. Aufgabe} (3 Punkte)

Zeigen Sie, daß die Steifigkeitsmatrix aus der Folgerung im Kapitel 6.4 (Galerkin–Verfahren) symmetrisch und positiv definit ist.

\underline{2. Aufgabe} (4 Punkte (0.5+1+2+0.5))

Zu lösen sei die Poisson–Gleichung im Einheitsquadrat

−Δu = f, in Ω = (0, 1)^{2}
u = 0 auf ∂Ω.

Es werde Ω̄ mit einem gleichmäßigen Dreiecknetz der Maschenweite h, wie in Abb. 1, überzogen.

Abbildung 1: Abbildung 2:

Wir wählen den Ansatzraum

V_{h} := {v ∈ C(Ω̄) : v ist in jedem Dreieck linear und v = 0 auf ∂Ω}.

a) Wie groß ist N = dim V_{h}?

b) v ∈ V_{h} ist global durch die Werte an den N Gitterpunkten (x_{j}, y_{j}) gegeben. Wir wählen eine Basis {ψ_{i}}_{i=1}^{N} mit ψ_{i}(x_{j}, y_{j}) = δ_{ij}. Bestimmen Sie die Ableitungen der Basisfunktion ψ_{Z} in den Dreiecken.

c) Berechnen Sie die Matrixelemente der Steifigkeitsmatrix.

d) Wie sieht das resultierende Gleichungssystem aus?

\underline{3. Aufgabe} (1 Punkte) Ist die folgende Triangulierung zulässig?

\underline{4. Aufgabe} (2 Punkte) Man zeige, daß bei einer Triangulierung eines einfach zusammenhängenden Gebietes gilt

#Dreiecke + #Knoten − #Kanten = 1.

Warum gilt das nicht für mehrfach zusammenhängende Gebiete?

Abgabe der Lösungen zu den theoretischen Aufgaben am Di, 22.1. vor der Vorlesung.