Universität des Saarlandes Wintersemester 2001/2002 Fachrichtung 6.1 – Mathematik Dr. M. Ehrhardt

12. Übungsblatt zur Vorlesung “Numerik partieller Differentialgleichungen” (Lineare Finite Elemente, Transformationsformel, inverse Ungleichung)

\underline{1. Aufgabe} (3 Punkte (0.5+1+0.5+1))

Das Dreieck T sei durch die Eckpunkte (x_{i}, y_{i}), i = 1, 2, 3 gegeben. Die zugehörigen linearen Basisfunktionen sind durch b_{j}(x_{k}, y_{k}) = δ_{jk}, j, k = 1, 2, 3 bestimmt. Zeigen Sie:

a)

b_{j}(x, y) = det (\begin{matrix}1 & x & y \\ 1 & x_{j+1} & y_{j+1} \\ 1 & x_{j+2} & y_{j+2} \end{matrix}) / det (\begin{matrix}1 & x_{j} & y_{j} \\ 1 & x_{j+1} & y_{j+1} \\ 1 & x_{j+2} & y_{j+2} \end{matrix}) ,

wobei Indizes modulo 3 zu verstehen sind.

b) Es gilt

∇b_{j}(x, y) = \frac{1}{2 |T |} (\begin{matrix}y_{j+1} − y_{j+2} \\ x_{j+2} − x_{j+1} \end{matrix}) ,

wobei |T | den Flächeninhalt von T bezeichnet.

c) Für die Einträge in die lokale Elementmatrix A_{T} = (a_{jk})_{j,k=1,2,3} gilt

a_{jk} = ∫_{T} ∇b_{j}(∇b_{k})^{⊤} dx = \frac{|T |}{(2 |T |)^{2}} (y_{j+1} − y_{j+2}, x_{j+2} − x_{j+1}) · (\begin{matrix}y_{k+1} − y_{k+2} \\ x_{k+2} − x_{k+1} \end{matrix}) .

d) Die lokale Elementmatrix ist gegeben durch

A_{T} = |T | GG^{⊤}

mit

G = (\begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ x_{1} & x_{2} & x_{3} \\ y_{1} & y_{2} & y_{3} \end{matrix})^{−1} (\begin{matrix}0 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) .

\underline{2. Aufgabe} (4 Punkte (1+3))

Sei T̃ das Einheitsdreieck und T_{j} ∈τ gegeben durch die Eckpunkte X_{i} =(x_{i}, y_{i}), i = 1, 2, 3. In der Vorlesung wurde gezeigt, daß F_{T_{j}} : T̃ → T_{j}, F_{T_{j}}(x̃) = Bx̃ + b, T̃ auf T_{j} abbildet.

a) Berechnen Sie det F′_{T_{j}}(x̃).

b) Sei B regulär und v ∈ H^{2}(T_{j}). Zeigen Sie, daß dann v̂ := v ∘ F_{T_{j}} ∈ H^{2}(T̃) gilt und eine Konstante c > 0 existiert mit

\left|{ \atop v̂}\right|_{H^{2}(T̃)} ≤ c ∥B∥^{2} |det B|^{− \frac{1}{2}} |v|_{H^{2}(T_{j})} .

\underline{3. Aufgabe} (3 Punkte)

Es sei V_{h} der Raum der linearen finiten Elemente über einer quasi–uniformen Triangulierung τ eines polygonalen Gebietes Ω ⊂ ℝ^{2}. Zeigen Sie: Unter der Voraussetzung h/h_{T_{j}} ≤ ν für alle T_{j} ∈ τ, gilt die inverse Ungleichung

∥v_{h}∥_{L^{∞}(Ω)} ≤ \frac{C}{h} ∥v_{h}∥_{L^{2}(Ω)}

Sie dürfen dabei benutzen, daß

∥v_{h}∥_{L^{2}(Ω)}^{2} = \frac{1}{60} ∑_{T_{j}∈τ}(3 ∑_{i} v_{i,T_{j}}^{2} + 8 ∑_{i<k} v_{ik,T_{j}}^{2} + 27v_{s,T_{j}}^{2}) |T_{j}|

gilt. Dabei sind v_{i,T_{j}} die Funktionswerte der linearen Funktion v_{h}|_{T_{j}} in den Ecken, v_{ik,T_{j}} die Funktionswerte in den Seitenmittelpunkten und v_{s,T_{j}} der Wert im Schwerpunkt.

Abgabe der Lösungen zu den theoretischen Aufgaben am Di, 29.01. vor der Vorlesung.