Universität des Saarlandes Wintersemester 2001/2002 Fachrichtung 6.1 – Mathematik Dr. M. Ehrhardt

13. Übungsblatt zur Vorlesung “Numerik partieller Differentialgleichungen” (Methode der einfachen Iteration, V–Zyklus, W–Zyklus, Restprojektor)

\underline{1. Aufgabe} (4.5 Punkte (1+2+0.5+0.5+0.5))

Bei der Methode der einfachen Iteration ist der Parameter τ ∈ ℝ so zu wählen, daß

q(τ) := max_{γ_{1}≤t≤γ_{2}} |1 − τt| , 0 < γ_{1} ≤ γ_{2}

minimal wird. Es sei q(τ^{∗}) = min_{τ∈ℝ}q(τ). Skizzieren Sie |1 − τt| als Funktion von t für verschiedene Werte von τ und begründen Sie, daß

a) q(τ) < 1 für 0 < τ < \frac{2}{γ_{2}}

b) q(τ^{∗}) = \frac{γ_{2} − γ_{1}}{γ_{2} + γ_{1}} < 1 für τ = τ^{∗} = \frac{2}{γ_{1} + γ_{2}}

gilt. Erläutern Sie anhand der Skizze die folgenden Bemerkungen:

a) Für τ = 2/γ_{2} erreicht man die bestmögliche, aber immer noch schlechte Dämpfung von niedrigfrequenten Komponenten des Fehlers (kleine Eigenwerte).

b) Für τ < 2/γ_{2} kann man eine “gute” Dämpfung von hochfrequenten Komponenten des Fehlers erreichen, etwa auf [γ̃, γ_{2}] für τ = 2/(γ̃ + γ_{2}).

c) τ = τ^{∗} ist zur Dämpfung von hochfrequenten Komponenten nicht geeignet!

\underline{2. Aufgabe} (2.5 Punkte (1+1.5))

Die Bezeichnungen V–Zyklus bzw. W–Zyklus rühren daher, daß die in der Abbildung gezeigten gezeigten Schemata auf 3 Gittern den Buchstaben V und W ähneln.

Wie sehen die Schemata auf 4 Gittern aus?

\underline{3. Aufgabe} (3 Punkte)

Beweisen Sie Lemma 2 (Eigenschaft des Restprojektors) aus Kapitel 7.4 der Vorlesung. Hinweis: Beachten Sie, daß für v ∈ V_{k} gilt: P_{k−1}v ist die Galerkin–Näherung von v in V_{k−1} und benutzen Sie Satz 6.6.1. Verwenden Sie, daß für unser Modellproblem aus Kapitel 7.1 gilt ∥v∥_{E,k,0} = ∥v∥_{L^{2}(Ω)}, v ∈ V_{k}.

\underline{4. Aufgabe} (Praktische Aufgabe) (5 Punkte (3+2))

Machen Sie sich mit der interaktiven Mehrgitter Umgebung MGLab in MATLAB vertraut. Eine kurze Beschreibung finden Sie auf der Vorlesungs–Homepage. Lösen Sie die praktische Aufgabe vom 5. Übungsblatt (Poisson–Gleichung) mit einem Zweigitterverfahren ohne Vorglättung, indem Sie die Files demo2 run.m und get rhs.m entsprechend modifizieren.

Abgabe der Lösungen zu den theoretischen Aufgaben am Di, 5.02.02 vor der Vorlesung. Abgabe der Lösungen zu der praktischen Aufgabe am Mo, 18.02. in den Sprechstunden.