Universität des Saarlandes Wintersemester 2001/2002 Fachrichtung 6.1 – Mathematik Dr. M. Ehrhardt

14. Übungsblatt zur Vorlesung “Numerik partieller Differentialgleichungen” (Fundamentallösung, Darstellungsformel)

\underline{1. Aufgabe} (3 Punkte)

Bestimmen Sie die Fundamentallösung u^{∗} des Laplace–Operators im ℝ^{2}, indem Sie benutzen, daß die Delta–Distribution δ radialsymmetrisch ist. Hinweis: 1. Übung, 2. Aufgabe

\underline{2. Aufgabe} (2 Punkte)

Leiten Sie die Darstellungsformel

\frac{∂u}{∂y} (y) = \frac{1}{2} v_{1} + \frac{1}{2} v_{0} + \frac{1}{2} ∫_{0}^{y} f(x) dx − \frac{1}{2} ∫_{y}^{1} f(x) dx

für die Ableitung der Lösung der 1D–Modellaufgabe aus Kapitel 8.2 her.

\underline{3. Aufgabe} (5 Punkte (2+1+2))

Verifizieren Sie die in Kapitel 8.4 benutzten Eigenschaften:

a)

ũ = ε(∇_{x}u(y), e(φ)) + O(ε^{2})
ṽ = −\frac{1}{2πε}(e(φ), n_{y})

b)

\frac{∂ũ}{∂n_{x}} = − \frac{∂ũ}{∂ε} = −(∇_{x}u(y), e(φ)) + O(ε)
\frac{∂ṽ}{∂n_{x}} = − \frac{∂ṽ}{∂ε} = −\frac{1}{2πε^{2}} (e(φ), n_{y})

c)

∫_{0}^{π}(a, e(φ))(b, e(φ)) dφ = \frac{π}{2} (a, b), ∀a, b ∈ ℝ^{2}.

Abgabe der Lösungen zu den theoretischen Aufgaben am Di, 19.02. vor der Vorlesung.