Universität des Saarlandes Wintersemester 2001/2002 Fachrichtung 6.1 – Mathematik Dr. M. Ehrhardt

2. Übungsblatt zur Vorlesung “Numerik partieller Differentialgleichungen” (Differenzenapproximation, Konsistenzordnung)

\underline{1. Aufgabe} (4 Punkte (2+2))

Zeigen Sie, daß das θ–Schema aus der Vorlesung für θ = 0.5 und

φ_{j}^{n} = f(x_{j}, t_{n} + k/2)

für u ∈ C^{4,3} eine Approximation der Ordnung O(h^{2} + k^{2}) liefert. Welche Approximationsordnung ergibt sich bei diesem Schema unter Benutzung von

φ_{j}^{n} = f(x_{j}, t_{n}) ?

Was bedeutet dies unter praktischen Gesichtspunkten?

\underline{2. Aufgabe} (3 Punkte)

Man entwickle eine Differenzenapproximation für den Differentialoperator

Lu := (κ(x)u′)′

durch zweimalige Anwendung von

u′(x) ≈ \frac{1}{h} (u(x + \frac{h}{2}) − u(x − \frac{h}{2}))

und studiere die Konsistenzordnung.

\underline{3. Aufgabe} (3 Punkte (1.5+1.5))

Zur Diskretisierung von

−u′′(x) = f(x), u(0) = u(1) = 0

wähle man ein beliebiges Gitter

0 = x_{0} < x_{1} < ⋯ < x_{J}

und setze h_{j} := x_{j} − x_{j−1}.

a) Zeigen Sie, daß die folgende Diskretisierung zweckmäßig ist:

\frac{2}{h_{j} + h_{j+1}} (\frac{u_{j} − u_{j+1}}{h_{j+1}} + \frac{u_{j} − u_{j−1}}{h_{j}} ) = f_{j}.

b) Wie verhält sich der Konsistenzfehler im Vergleich zu dem auf dem äquidistanten Gitter?

\underline{4. Aufgabe} (Praktische Aufgabe) (5 Punkte) Die Temperaturverteilung in einem Stab der Länge 1 genügt der Wärmeleitungsleichung

u_{t} = u_{xx}, 0 < x < 1, t > 0.

Die Temperatur in den beiden Endpunkten des Stabes sei gegeben durch

u(0, t) = u(1, t) = 12 sin^{2}(12πt), t ≥ 0.

Am Anfang habe der Stab die Temperatur Null: u(x, 0) = 0, 0 < x < 1. Berechnen Sie die genäherte Temperaturverteilung mit dem

a) expliziten Euler–Verfahren (h = 1/6, k = 1/72),

b) Crank–Nicolson–Verfahren (h = 1/10). Zum Zeitpunkt t=1/12 herrscht an beiden Stabenden die Temperatur Null. Geben Sie die jeweilige Lösung zu den Zeitpunkten t = 1/12, t = 1/10 und t = 1/6 aus. Hinweis: Zum Vergleich können Sie die Lösung der Wärmeleitungsleichung mit Hilfe der Webpage

http://numawww.mathematik.tu-darmstadt.de:8081/numerik/pdgl/

berechnen.

Abgabe der Lösungen zu den theoretischen Aufgaben am Di, 6.11. vor der Vorlesung. Abgabe der Lösungen zu der praktischen Aufgabe am Mo, 19.11. in den Sprechstunden.