Universität des Saarlandes Wintersemester 2001/2002 Fachrichtung 6.1 – Mathematik Dr. M. Ehrhardt

3. Übungsblatt zur Vorlesung “Numerik partieller Differentialgleichungen” (ℓ^{2}–Stabilität im von Neumannschen Sinne)

\underline{1. Aufgabe} (2 Punkte)

Führen Sie die Stabilitätsuntersuchung des θ–Schemas aus der Vorlesung mithilfe der formalen Fourier–Stabilitätstechnik nach von Neumann durch.

\underline{2. Aufgabe} (4 Punkte)

Zur Lösung der Wärmeleitungsgleichung

u_{t} = u_{xx},  0 < x < 1, t > 0
u(0, t) = u(1, t) = 0

führt die Diskretisierung Dt^{0}u_{j}^{n} = Dx^{2}u_{j}^{n} auf das folgende explizite 3-Level Schema

u_{j}^{n+1} = u_{j}^{n−1} + 2γ (u_{j+1}^{n} + u_{j−1}^{n}) − 4γ u_{j}^{n},

wobei γ = k/h^{2} das parabolische Schrittweitenverhältnis bezeichnet. Bestimmen Sie die Konsistenzordnung dieses Verfahrens. Ist dieses Verfahren ℓ^{2}–stabil (im von Neumannschen Sinne)?

\underline{3. Aufgabe} (4 Punkte)

Eine Modifikation des Verfahrens aus der 1. Aufgabe zur Lösung der Wärmeleitungsgleichung führt auf das Schema

u_{j}^{n+1} = u_{j}^{n−1} + 2γ (u_{j+1}^{n} + u_{j−1}^{n} − u_{j}^{n+1} − u_{j}^{n−1}).

Untersuchen Sie die ℓ^{2}–Stabilitätseigenschaften und die Konsistenzordnung dieses Verfahrens.

Abgabe der Lösungen zu den theoretischen Aufgaben am Di, 13.11. vor der Vorlesung.