Universität des Saarlandes Wintersemester 2001/2002 Fachrichtung 6.1 – Mathematik Dr. M. Ehrhardt

4. Übungsblatt zur Vorlesung “Numerik partieller Differentialgleichungen” (Tridiagonalmatrizen, Diskretes Maximumprinzip, ℓ^{∞}–Stabilität)

\underline{1. Aufgabe} (2 Punkte)

Zeigen Sie, daß die Eigenwerte und zugehörigen Eigenvektoren der Tridiagonalmatrix

T = tridiag(a, b, c) = (\begin{matrix}b & c & 0 & … & 0 \\ a & b & c & … & 0 \\ & ... & ... & ... \\ 0 & … & a & b & c \\ 0 & … & 0 & a & b \end{matrix})_{N×N}

gegeben sind durch

λ_{j} = b + 2c\sqrt{\frac{a}{c}} cos \frac{jπ}{N + 1}

und u_{j} = (u_{1}, …, u_{k}, …, u_{N})^{⊤} mit

u_{k} = 2 (\sqrt{\frac{a}{c}})^{k} sin \frac{kjπ}{N + 1}, k = 1, …, N, j = 1, …, N.

\underline{2. Aufgabe} (3 Punkte (1.5+1.5))

Beweisen Sie die Folgerungen 1 und 2 in Kapitel 2.5 der Vorlesung.

\underline{3. Aufgabe} (5 Punkte (2.5+2.5))

Wir betrachten ein finites Differenzenverfahren für die Konvektions–Diffusionsgleichung

u_{t} = au_{xx} − bu_{x},  0 < x < 1, t > 0
u(0, t) = u(1, t) = 0,

wobei a > 0. Der Einfachheit halber nehmen wir b > 0 an. Schreiben Sie das Schema Dt^{+}u_{j}^{n} = aDx^{2}u_{j}^{n} − bDx^{0}u_{j}^{n}, j = 1, …, J − 1, in der Form

u_{j}^{n+1} = (1 − 2aγ)u_{j}^{n} + aγ(1 − Pe)u_{j+1}^{n} + aγ(1 + Pe)u_{j−1}^{n}, Pe = \frac{bh}{2a}

und beweisen Sie, daß für das Schema gilt

Pe ≤ 1 ⟹ max_{0≤j≤J} |u_{j}^{n+1}| ≤ max_{0≤j≤J} |u_{j}^{n}|

(vorausgesetzt die ℓ^{2}–Stabilitätsbedingung aγ ≤ 1/2 für γ := k/h^{2} ist erfüllt). Geben Sie ein Beispiel dafür an, daß die obige Maximumnormabschätzung für Pe > 1 im allgemeinen nicht mehr gilt.

Abgabe der Lösungen zu den theoretischen Aufgaben am Di, 20.11. vor der Vorlesung.