Universität des Saarlandes Wintersemester 2001/2002 Fachrichtung 6.1 – Mathematik Dr. M. Ehrhardt

5. Übungsblatt zur Vorlesung “Numerik partieller Differentialgleichungen” (Poisson–Gleichung, Maximumprinzip)

\underline{1. Aufgabe} (4 Punkte (3+0.5+0.5)) Die Poisson–Gleichung auf dem Gebiet Ω = [0, 1] × [0, 1]:

−Δu(x, y) = f(x, y),  (x, y) ∈ Ω
u(x, y) = 0,  (x, y) ∈ ∂Ω

soll mit dem Fünfpunktestern und h = 1/4 diskretisiert werden.

a) Wie lautet das Gleichungssystem für folgende Numerierungen:

• • • • •  • • • • •  • • • • • • • • • •  • • • • •  • • • • • • • • • •  • • • • •  • • • • • • • • • •  • • • • •  • • • • • • • • • •  • • • • •  • • • • • 147 258 369 i) zeilenweise  ii) diagonal  iii) Schachbrett 136 258 479  174 639 285

b) Prüfen Sie jeweils, ob die Matrix A symmetrisch ist.

c) Zeigen Sie, daß die Matrix A im Falle i) positiv definit ist.

\underline{2. Aufgabe} (3 Punkte) Beweisen Sie die Folgerung 6 aus Kapitel 3.4 der Vorlesung. \underline{3. Aufgabe} (3 Punkte) Betrachten Sie das Randwertproblem

−Δu = 1 in Ω
u = 0 auf ∂Ω,

wobei Ω die folgende Gestalt hat:

Leiten Sie mittels des angegebenen Maximum–Minimum–Prinzips untere und obere Schranken für die Lösung u her.

Hinweis: Benutzen Sie die Vergleichsfunktion v(x, y) = \frac{(2 − x)x}{4} + \frac{(1 − y)y}{4} .

Definition: Der lineare Differentialoperator

Lu := − ∑_{i,j=1}^{n} a_{ij}(x) \frac{∂^{2}}{∂x_{i}∂x_{j}} u + ∑_{i,j=1}^{n} b_{i}(x) \frac{∂}{∂x_{i}} u + cu, x ∈ Ω ⊂ ℝ^{n}

heißt elliptisch, falls die Matrix A(x) = (a_{ij}(x))_{ij} symmetrisch und positiv definit ist für alle x ∈ Ω und falls alle Koeffizienten beschränkt sind. Der Operator L heißt gleichmäßig elliptisch, falls eine Konstante C_{E} existiert, so daß

−ξ^{⊤}A(x)ξ ≥ C_{E}∥ξ∥^{2}, für alle x ∈ Ω, ξ ∈ ℝ^{n}.

Maximum–Minimum–Prinzip: Sei Ω ein beschränktes Gebiet und L ein gleichmäßig elliptischer Operator mit c ≥ 0. Die Daten seien stetig: f ∈ C(Ω̄), μ ∈ C(∂Ω) und u∈C^{2}(Ω) ∩ C(Ω̄) sei klassische Lösung von

Lu = f  in Ω
u = μ auf ∂Ω,

Dann gilt

a) f ≥ 0 ⟹ u ≥ min_{x∈∂Ω} μ,

b) f ≤ 0 ⟹ u ≤ max_{x∈∂Ω} μ,

c) f = 0 ⟹ |u| ≤ max_{x∈∂Ω} |μ|,

d) f beliebig ⟹ |u| ≤ max_{x∈∂Ω} |μ| + K max_{x∈Ω} |f|.

\underline{4. Aufgabe} (Praktische Aufgabe) (5 Punkte)

Diskretisieren Sie die Poisson–Gleichung

−Δu(x, y) = 3x^{2},  (x, y) ∈ Ω = (−1, 1)^{2}
u(x, y) = 0,  (x, y) ∈ ∂Ω, x ≠ 1
u(1, y) = \frac{1}{4} sin(\frac{y + 1}{2} π), y ∈ (−1, 1)

unter Benutzung des Fünfpunktesterns mit der Schrittweite h = Δx = Δy = 1/8. Berechnen Sie eine Näherungslösung und geben Sie diese graphisch aus.

Hinweis: Zum Vergleich können Sie die Lösung der Helmholtzgleichung (mit λ = 0) mit der Page

http://numawww.mathematik.tu-darmstadt.de:8081/numerik/pdgl/

berechnen. Diese Lösung erhalten Sie auch mit dem Aufruf pdedemo8 unter Matlab.

Abgabe der Lösungen zu den theoretischen Aufgaben am Di, 27.11. vor der Vorlesung. Abgabe der Lösungen zu der praktischen Aufgabe am Mo, 10.12. in den Sprechstunden.