Universität des Saarlandes Wintersemester 2001/2002 Fachrichtung 6.1 – Mathematik Dr. M. Ehrhardt

6. Übungsblatt zur Vorlesung “Numerik partieller Differentialgleichungen” (Diskretisierungen höherer Ordnung)

\underline{1. Aufgabe} (6 Punkte (2+2+2))

Betrachten Sie das folgende Randwertproblem 2. Ordnung

−u′′ = f in Ω = (0, 1)
u(0) = u(1) = 0

und eine beliebige 3–Punkt–Approximation

\frac{1}{h^{2}} (α_{i,0}u_{i−1} + α_{i,1}u_{i} + α_{i,2}u_{i+1}) = ∑_{j=1}^{J} β_{i,j}f(τ_{i,j})
u_{0} = u_{N} = 0

auf dem Teilintervall [x_{i−1}, x_{i+1}], wobei α_{i,0}, α_{i,1}, α_{i,2}, β_{i,j} zu bestimmende Parameter und τ_{i,j} ∈ [x_{i−1}, x_{i+1}] Hilfspunkte sind. Für das Schema soll gelten:

a) Das Schema ist exakt auf einem (L+1)–dimensionalen Raum S, d.h.

\frac{1}{h^{2}} (α_{i,0}s_{ℓ}(x_{i−1}) + α_{i,1}s_{ℓ}(x_{i}) + α_{i,2}s_{ℓ}(x_{i+1})) = − ∑_{j=1}^{J} β_{i,j}s′′_{ℓ}(τ_{i,j})

für ℓ = 0, …, L, wenn s_{0}, s_{1}, …, s_{L} eine Basis von S bezeichnet.

In der Regel wird S dabei ein Teilraum der Polynome sein:

Lemma: Ist S der Raum der Polynome vom Grad ≤ L, so ist die Konsistenzordnung des Verfahrens L − 1.

b) Normierungsbedingung ∑_{j=1}^{J} β_{i,j} = 1.

Wählen Sie eine polynomiale Basis und lösen Sie folgende Fragestellungen:

a) Welches Verfahren liefert J = 1, τ_{i,1} = x_{i} ?

b) Wie erhält man mit J = 3 das bekannte Verfahren 4. Ordnung

−\frac{u_{i−1} − 2u_{i} + u_{i+1}}{h^{2}} = \frac{1}{12}(f(x_{i−1}) + 10f(x_{i}) + f(x_{i+1}))

c) Kann man mit J = 3 eine noch höhere Konsistenzordnung erreichen?

Hinweis: Setzen Sie o.B.d.A. x_{i} = 0 und betrachten Sie das Intervall [−h, h].

\underline{2. Aufgabe} (4 Punkte) Schreiben Sie das Schema höherer Ordnung aus der Vorlesung:

Λ′u(x) = −φ(x),  x ∈ Ω_{h}
u(x) = μ(x),  x ∈ Γ_{h}

mit

Λ′ = Λ_{1} + Λ_{2} + \frac{h_{1}^{2} + h_{2}^{2}}{12} Λ_{1}Λ_{2}
φ = f + \frac{h_{1}^{2}}{12} Λ_{1}f + \frac{h_{2}^{2}}{12} Λ_{2}f

in der Form des diskreten Maximumprinzips. Unter welchen Bedingungen an h_{1}, h_{2} sind die Voraussetzungen des Maximumprinzips erfüllt?

Abgabe der Lösungen zu den theoretischen Aufgaben am Di, 4.12. vor der Vorlesung.