Universität des Saarlandes Wintersemester 2001/2002 Fachrichtung 6.1 – Mathematik Dr. M. Ehrhardt

7. Übungsblatt zur Vorlesung “Numerik partieller Differentialgleichungen” (distributive Ableitung, Sobolev–Räume, Dualräume)

\underline{1. Aufgabe} (3 Punkte (1+2))

a) Bestimmen Sie die distributive Ableitung von

H(x) = \begin{cases}1 & x ≥ 0 \\ 0 & x < 0. \end{cases}

Existiert die verallgemeinerte Ableitung von H ?

b) Berechnen Sie die ersten zwei distributiven Ableitungen von

f(x) = | sin x|.

\underline{2. Aufgabe} (4 Punkte (2+2))

a) Sei Ω ⊂ ℝ^{n} beschränkt mit 0 ∈ Ω. Man beweise, daß die Funktion u(x) = ∥x∥_{2}^{σ} ein Element von H^{1}(Ω) ist, falls σ = 0 oder 2σ + n > 2.

b) Sei Ω = {(x_{1}, x_{2}) ∈ ℝ^{2} : x_{1}^{2} + x_{2}^{2} < r_{0}} mit r_{0} < 1. Ist die Funktion

u(x, y) = (log(\frac{1}{\sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}} ))^{k}, k < \frac{1}{2}

stetig? Gilt u ∈ H^{1}(Ω) ?

\underline{3. Aufgabe} (3 Punkte (1+2))

Sei (X, ∥·∥_{X}) ein normierter Raum und X′ der zugehörige Dualraum, d.h. der Raum der stetigen linearen Funktionale auf X. Zeigen Sie

a) ∥F ∥_{X′} := sup_{x∈X\\{0\}} \frac{|F (x)|}{∥x∥_{X}} ist eine Norm auf X′.

b) (X′, ∥·∥_{X′}) ist ein Banach–Raum.

\underline{4. Aufgabe} (Praktische Aufgabe) (5 Punkte)

Lösen Sie die praktische Aufgabe vom 5. Übungsblatt mit dem Schema höherer Ordnung aus der Vorlesung, Kapitel 3.7.

Abgabe der Lösungen zu den theoretischen Aufgaben am Di, 11.12. vor der Vorlesung. Abgabe der Lösungen zu der praktischen Aufgabe am Mo, 7.01.02 in den Sprechstunden.