Universität des Saarlandes Wintersemester 2001/2002 Fachrichtung 6.1 – Mathematik Dr. M. Ehrhardt

8. Übungsblatt zur Vorlesung “Numerik partieller Differentialgleichungen” (Friedrichs–Ungleichung, Poincaré–Ungleichung, Sobolev–Ungleichung)

\underline{1. Aufgabe} (3 Punkte (2+1))

a) Man beweise die folgende Ungleichung von Wirtinger: Sei u ∈ C^{1}([0, 2π]), u(0) = u(2π) und ∫_{0}^{2π} u(t) dt = 0. Dann gilt

∫_{0}^{2π} u(t)^{2} dt ≤ ∫_{0}^{2π} u′(t)^{2} dt.

Hinweis: Man setze für u eine Fourierentwicklung an und benutze die Parsevalsche Gleichung.

b) Weiter zeige man, daß aus diese Ungleichung für f ∈ C^{1}([a, b]) bei der Annahme f(a) = f(b) = 0 die klassische Friedrichs–Ungleichung

∫_{a}^{b} f(x)^{2} dx ≤ (\frac{b − a}{π})^{2} ∫_{a}^{b} f′(x)^{2} dx.

folgt.

\underline{2. Aufgabe} (4 Punkte (1+2+1))

Sei Ω ⊂ ℝ^{n} ein beschränktes Gebiet. Zeigen Sie:

a) Durch

∥u∥_{Ω,c} = (∫_{Ω} |∇u|^{2} + c(x) u^{2} dx)^{\frac{1}{2}}

wird auf V = H_{0}^{1}(Ω) eine Norm definiert, falls c ∈ L^{∞}(Ω) und c ≥ 0 fast überall.

b) Der Laplace–Operator ist koerziv auf (V, ∥u∥_{Ω,c}), d.h. es existiert eine Konstante c_{2} > 0 mit

∫_{Ω} |∇u|^{2} dx ≥ c_{2} ∥u∥_{Ω,c}^{2}.

c) Wie hängt die Koerzivitätskonstante von der verwendeten Norm ab?

\underline{3. Aufgabe} (3 Punkte (2.5+0.5) Sei Ω = {(x, y) ∈ ℝ^{2} : 0 < x < 1, |y| < x^{r}, r > 1} und u(x, y) = x^{−ε/p}, (x, y) ∈ Ω.

a) Für welche p gilt u ∈ W_{p}^{1}(Ω) ?

b) Für ε > 0 ist u in Ω unbeschränkt.

Abgabe der Lösungen zu den theoretischen Aufgaben am Di, 18.12. vor der Vorlesung.