Universität des Saarlandes Wintersemester 2001/2002 Fachrichtung 6.1 – Mathematik Dr. M. Ehrhardt

9. Übungsblatt zur Vorlesung “Numerik partieller Differentialgleichungen” (Schwache Formulierung, Lax–Milgram)

\underline{1. Aufgabe} (2 Punkte (1+1))

In der Vorlesung wurde für das Randwertproblem

−u′′ + αu′ + u = f, x ∈ (0, 1)
u′(0) = u′(1) = 0

(mit α = 1) eine schwache Formulierung mit einer nichtsymmetrischen, stetigen und koerziven Bilinearform hergeleitet.

a) Sei α = 1. Begründen Sie, warum es für f ∈ L^{2}(0, 1) genau eine schwache Lösung u ∈ H^{1}(0, 1) gibt.

b) Zeigen Sie: Wenn α ∈ ℝ hinreichend groß ist, dann ist die zugehörige Bilinearform nicht mehr koerziv auf H^{1}(0, 1).

\underline{2. Aufgabe} (4 Punkte)

Gegeben sei die Randwertaufgabe

−(a(x)u′)′ = 0, x ∈ (−1, 1), u(−1) = 3, u(1) = 0

mit

a(x) = \begin{cases}1, & −1 ≤ x < 0, \\ 0.5, & 0 ≤ x ≤ 1. \end{cases}

Man gebe eine schwache Formulierung dieser Aufgabe und bestimme ihre Lösung.

\underline{3. Aufgabe} (4 Punkte)

Sei Ω ein beschränktes Gebiet mit glattem Rand ∂Ω, wobei ∂Ω = Γ_{1} ∪ Γ_{2}, Γ_{1} ∩ Γ_{2} = ∅. Seien c, f, g, p, q stetig. Definiere V := {v ∈ H^{1}(Ω) : v = 0 auf Γ_{1}}. Die Funktion u ∈ H^{1}(Ω) mit u = g auf Γ_{1} erfülle die schwache Formulierung

∫_{Ω} ∇u∇v + c uv dx + ∫_{Γ_{2}}(pu − q)v ds = ∫_{Ω} fv dx für alle v ∈ V.

Sei nun u ∈ C^{2}(Ω) ∩ C(Ω̄). Welches klassische Problem löst u?

Abgabe der Lösungen zu den theoretischen Aufgaben am Di, 8.01.02 vor der Vorlesung.

* Wir wünschen allen Hörern ein frohes Weihnachtsfest *

* und einen guten Rutsch ins neue Jahr 2002 ! *