UNIVERSITÄT DES SAARLANDES Fakultät Mathematik und Informatik Prof. Dr. A. Arnold

7. April 2001

Klausur zur Praktischen Mathematik

\underline{SS 2001}

Erreichbare Punktzahl : 50 Punkte

Die Klausur ist bestanden bei Erreichen von : 22 Punkten

Beachten Sie bitte die folgenden Hinweise:

Schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Namen und numerieren Sie die Blätter fortlaufend durch. Beginnen Sie mit jeder Aufgabe eine neue Seite. Bleistift und Rotstift dürfen nicht zum Schreiben benutzt werden. Heften Sie am Schluß der Klausur die Lösungsblätter und das Deckblatt (oben aufliegend!) mit der Büroklammer zusammen (kein Schmierpapier). Als Hilfsmittel dürfen ausschließlich die Vorlesungs- und Übungsmitschriften dieses Semesters sowie nicht programmierbare Taschenrechner verwendet werden. Halten Sie den Studentenausweis und ein Lichtbildausweis zur Identitätskontrolle bereit. Jeder Täuschungsversuch führt zum sofortigen Ausschluß von der Klausur.

Bekanntgabe der Klausurergebnisse: ab Dienstag, 10.4.2001 (Aushang: Vorlesungsgebäude 27.2).

Klausureinsicht: Dienstag, 10.4.2001, 10:00 – 12:00 Uhr, Gebäude 36.1, Raum 2.29.

\underline{1. Aufgabe} (6 Punkte (2+2+2))

a) Geben Sie eine vollbesetzte, nichtsinguläre (3 × 3)–Matrix an, bei der der Gaußalgorithmus ohne Pivotsuche versagt.

b) Sei F_{k} = I − f · e_{k}^{⊤} ∈ ℝ^{n×n}, f ∈ ℝ^{n} eine Frobeniusmatrix vom Index k und e_{k} der k–te kanonische Einheitsvektor im ℝ^{n} (Spaltenvektor). Zeigen Sie: Die Inverse ist gegeben durch F_{k}^{−1} = I + f · e_{k}^{⊤} ∈ ℝ^{n×n}.

c) Geben Sie mit Hilfe von b) eine Abschätzung für die Kondition κ_{∞} (bzgl. der Zeilensummennorm) einer Eliminationsmatrix L_{k} beim Gaußalgorithmus mit Spaltenpivotsuche an!

\underline{2. Aufgabe} (5 Punkte (2+2+1))

Eine Matrix, bei der die Betragssummen aller Zeilen gleich sind, heißt zeilenäquilibriert. Zeigen Sie:

a) Durch Linksmultiplikation mit einer geeigneten regulären Diagonalmatrix kann jede reguläre Matrix in eine zeilenäquilibrierte mit Zeilensumme 1 transformiert werden.

b) Ist A eine zeilenäquilibrierte Matrix, dann gilt für jede reguläre Diagonalmatrix D: κ_{∞}(A) ≤ κ_{∞}(DA).

c) Interpretieren Sie die Aussage in b).

\underline{3. Aufgabe} (6 Punkte)

Lösen Sie mit Hilfe einer QR–Zerlegung nach dem Householder–Verfahren das Gleichungssystem

(\begin{matrix}4 & 4 & 0 \\ 3 & 3 & 5 \\ 0 & 4 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix}4 \\ −7 \\ −6 \end{matrix}) .

Geben Sie die Rechenschritte sowie die Matrizen Q und R explizit an. Hinweis: Jeder Householder–Schritt und die Lösung liefern automatisch eine Rechenkontrolle.

\underline{4. Aufgabe} (5 Punkte)

In den Punkten x_{1} ≤ ⋯ ≤ x_{n} ∈ ℝ, x_{1} < x_{n}, liegen Meßwerte f_{1}, …, f_{n} ∈ ℝ vor. Die Ausgleichsgerade y(x) ist dann definiert durch

∑_{i=1}^{n} |y(x_{i}) − f_{i}|^{2} ≤ ∑_{i=1}^{n} |a + bx_{i} − f_{i}|^{2} , ∀a, b ∈ ℝ

Geben Sie eine möglichst einfache, explizite Formel für y(x) an! Bemerkung: Eine Formel mit Hilfe der QR–Zerlegung ist nicht explizit genug.

\underline{5. Aufgabe} (4 Punkte)

Lösen Sie das lineare Gleichungssystem

(\begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix}) x = (\begin{matrix}2 \\ −1 \end{matrix})

mit dem Verfahren der konjugierten Gradienten. Wählen Sie als Startvektor x_{0} = (0, 0)^{⊤}. Wieviele Iterationen sind (höchstens) dazu nötig? Hinweis: Am Ende empfielt sich eine Einsetzprobe mit der Lösung.

\underline{6. Aufgabe} (5 Punkte (3+2))

Berechnen Sie mit Hilfe der Potenzmethode den Eigenvektor zum betragsmäßig größten Eigenwert λ der Matrix

A = (\begin{matrix}−2 & 2 & −2 \\ −12 & 12 & −2 \\ −12 & 12 & −2 \end{matrix}) .

Als Startvektor wählen Sie

a) x_{0} = (\begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})  und  b) x_{0} = (\begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) .

Nach maximal n = 3 Iterationen kann das Verfahren abgebrochen und der Eigenvektor durch x_{n} approximiert werden. Ermitteln Sie mit Hilfe des Rayleigh–Quotienten eine Approximation an den Eigenwert λ. Interpretieren Sie die Ergebnisse Ihrer Iteration. Bei Ihrer Rechnung können Sie sich auf 3 Nachkommastellen beschränken.

\underline{7. Aufgabe} (5 Punkte)

Gegeben ist die Funktion

f(x) = \frac{2}{1 + x^{2}} .

Bestimmen Sie jeweils ein Interpolationspolynom zweiten Grades nach Lagrange sowie nach Newton für die Stützstellen x_{0} = −1, x_{1} = 0, x_{2} = 1. Fügen Sie dann die Stützstelle x_{3} = 0.5 hinzu und bestimmen Sie das Interpolationspolynom dritten Grades nach Newton. Hinweis: Man sollte die Interpolationsbedingungen am Ende kontrollieren.

\underline{8. Aufgabe} (5 Punkte)

Berechnen Sie zu f(x) = (x^{2} + 1)^{−1}, x ∈ [−1, 1] und x_{0} = −1, x_{1} = 0 und x_{2} = 1 den interpolierenden kubischen Spline S, für den

S′(x_{0}) = f′(x_{0}), S′′(x_{2}) = 0

gilt.

\underline{9. Aufgabe} (5 Punkte)

Wie groß muß man bei äquidistanter Wahl der Stützstellen x_{j} (j = 0, …, n) jeweils die Zahl n wählen, damit das Integral

I(f) = ∫_{a}^{b} f(x) dx mit f(x) = cos x, a = 0, b = 2π

mittels Newton–Cotes–Formeln bis auf 4 Nachkommastellen genau berechnet wird? Hinweis: Verwenden Sie die Abschätzung

∏_{j=0}^{n} |x − x_{j}| ≤ n! (\frac{b − a}{n})^{n+1} ,

wobei die Stützstellen x_{j} im Intervall [a,b] liegen.

\underline{10. Aufgabe} (4 Punkte)

Zur Lösung des Eigenwertproblems

Ax = λx, x ≠ 0,

mit A ∈ ℝ^{n×n} kann auch das Newton–Verfahren mit den (reellen) Variablen (x, λ) verwendet werden. Dabei sollen gleichzeitig ein Eigenwert und ein zugehöriger normierter Eigenvektor mit ∥x∥_{2}^{2} = x^{⊤}x = 1 bestimmt werden. Wie lautet die Iterationsvorschrift formuliert als lineares Gleichungssystem (möglichst vereinfachen)?