Universität des Saarlandes Wintersemester 2000/2001 Fachbereich Mathematik Prof. Dr. A. Arnold / M. Ehrhardt

1. Übungsblatt zur Vorlesung “Praktische Mathematik” (Gaußsche Eliminationsmethode)

\underline{1. Aufgabe} (2 Punkte)

Lösen Sie Ax = b mit der Gaußschen Eliminationsmethode (ohne Pivotsuche)

A = (\begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 9 & 16 \\ 1 & 8 & 27 & 64 \\ 1 & 16 & 81 & 256 \end{matrix}) , b = (\begin{matrix}3 \\ 1 \\ −15 \\ −107 \end{matrix}) .

\underline{2. Aufgabe} (2 Punkte (1+1))

Zeigen Sie oder widerlegen Sie:

a) Die Inverse einer regulären Dreiecksmatrix ist wieder eine Dreiecksmatrix.

b) Die Inverse einer regulären Bandmatrix ist wieder eine Bandmatrix.

\underline{3. Aufgabe} (3 Punkte (1+0.5+1.5))

Eine n × n–Matrix F_{k} heißt Frobeniusmatrix vom Index k, wenn sie sich höchstens in der k–ten Spalte unterhalb der Diagonalen von der Einheitsmatrix I unterscheidet. Sei e^{i} = (δ_{ij})_{j} der i–te Einheitsvektor im ℝ^{n}. Zeigen Sie:

a) Die n × n–Matrix F_{k} ist genau dann eine Frobeniusmatrix vom Index k, wenn es ein f ∈ ℝ^{n} gibt mit

(i) F_{k} = I − f(e^{k})^{T},

(ii) (e^{i})^{T} f = 0, i = 1, …, k.

b) Für jede Frobeniusmatrix vom Index k gilt

det F_{k} = 1.

c) Für k = 1, …, n − 1 seien F_{k} = I − f^{k}(e^{k})^{T} Frobeniusmatrizen vom Index k. Sei weiter L = F_{1}^{−1} · . . . · F_{n−1}^{−1} = (ℓ_{ij}). Dann gilt:

(i) L = I + ∑_{i=1}^{n−1} f^{i}(e^{i})^{T},

(ii) ℓ_{ii} = 1, i = 1, …, n, (iii) ℓ_{ij} = 0, i = 1, …, n − 1, j = i + 1, …, n, (iv) det L = 1. (Hinweis: bei (i) vollständige Induktion)

\underline{4. Aufgabe} (3 Punkte) A = (a_{ij}) ∈ ℝ^{n×n} heißt diagonaldominant, falls

∑_{\begin{matrix}j=1 \\ j≠i \end{matrix}}^{n} |a_{ij}| ≤ |a_{ii}|

für i = 1, …, n. Zeigen Sie: Ist A regulär und diagonaldominant, so ist der Gaußsche Algorithmus ohne Pivotwahl durchführbar. Anleitung: Betrachten Sie

A^{(μ)} = (\begin{matrix}A_{11}^{(μ)} & A_{12}^{(μ)} \\ 0 & A_{22}^{(μ)} \end{matrix}) mit A_{22}^{(μ)} ∈ ℝ^{(n−μ)×(n−μ)}.

und zeigen Sie mit vollständiger Induktion: A = A^{(0)} regulär und diagonaldominant

⇒ (a_{ij}^{(μ)})_{i,j=μ+1,...,n} = A_{22}^{(μ)} ∈ ℝ^{(n−μ)×(n−μ)}

ist regulär und diagonaldominant, μ = 0, …, n − 1. Für den Induktionsschritt: “μ → μ + 1”

(i) a_{ii}^{(μ)} ≠ 0. (ii) Diagonaldominanz: Verwenden Sie a_{ij}^{(μ+1)} = a_{ij}^{(μ)} + …, Dreiecksungleichung, sowie

umgekehrte Dreiecksungleichung. (iii) Regularität: det A^{(μ+1)} hängt von det A^{(μ)} ab.

Abgabe der Lösungen zu den theoretischen Aufgaben am Di, 31.10. vor der Vorlesung.