Universität des Saarlandes Wintersemester 2000/2001 Fachbereich Mathematik Prof. Dr. A. Arnold / M. Ehrhardt

11. Übungsblatt zur Vorlesung “Praktische Mathematik” (klass. Polynom–Interpolation, dividierte Differenzen, Hermite–Interpolation)

\underline{1. Aufgabe} (2 Punkte)

Durch eine ungenaue Übertragung der Funktionswerte eines quadratischen Polynoms hat sich in die folgende Wertetabelle ein Fehler eingeschlichen:

\begin{matrix}x_{k} & −2 & −1 & 0 & 1 & 2 \\ f(x_{k}) & 10 & 3 & 0 & 2 & 6 \end{matrix} .

Es ist bekannt, daß genau ein Wert falsch übermittelt wurde. Formulieren Sie eine Strategie, wie man den falschen Wert mit möglichst geringem Aufwand auffinden kann und korrigieren Sie die Tabelle.

\underline{2. Aufgabe} (1.5 Punkte)

In der folgenden Wertetabelle

\begin{matrix}x_{k} & 1.2 & 1.4 & 2 & 2.6 & 3.1 & ? \\ f(x_{k}) & 0.182 & 0.336 & 0.693 & 0.956 & 1.13 & 0.58 \end{matrix}

soll die fehlende Stützstelle durch Auswertung eines geeigneten Interpolationspolynoms bestimmt werden. Verwenden Sie dazu das Schema von Neville!

\underline{3. Aufgabe} (3 Punkte (1+2))

Die Funktion f(x) = cos x soll in den Punkten x_{0} = 0, x_{1} = \frac{π}{4} und x_{2} = \frac{π}{2} durch ein quadratisches Polynom p ∈ Π_{2} interpoliert werden.

a) Berechnen Sie p mit dem Verfahren der dividierten Differenzen.

b) Man leite eine möglichst gute Abschätzung für den maximalen Interpolationsfehler

max_{x∈[0, \frac{π}{2} ]} |f(x) − p(x)|

her.

Hinweis: Satz 2 aus der Vorlesung.

\underline{4. Aufgabe} (1.5 Punkte) Berechnen Sie das interpolierende Hermite–Polynom zu folgender Wertetabelle:

\begin{matrix}x_{k} & 0 & 1 & 2 & 4 \\ f(x_{k}) & 1 & 3 & 9 & 33 \\ f′(x_{k}) & & 1 \\ f′′(x_{k}) & & 0 \end{matrix} .

Hinweis: Benutzen Sie dividierte Differenzen. \underline{5. Aufgabe} (2 Punkte) Zeigen Sie: Falls x_{i} ≠ x_{j} ist, so gilt für P = P (f|x_{0}, …, x_{n}) der Hermite–Interpolation

P (x) = \frac{(x_{i} − x) P (f|x_{0}, …, x̂_{i}, …, x_{n})(x) − (x_{j} − x) P (f|x_{0}, …, x̂_{j}, …, x_{n})(x)}{x_{i} − x_{j}} ,

wobei anzeigt, daß der entsprechende Knoten wegzulassen ist und x_{i} < x_{i+2} für alle 0 ≤ i ≤ n − 2 gelte. Letzteres bedeutet, daß keine höheren als erste Ableitungen betrachtet werden müssen.

Abgabe der Lösungen zu den theoretischen Aufgaben am Di, 23.1.01 vor der Vorlesung.