Universität des Saarlandes Wintersemester 2000/2001 Fachbereich Mathematik Prof. Dr. A. Arnold / M. Ehrhardt

14. Übungsblatt zur Vorlesung “Praktische Mathematik” (tridiagonale Gleichungssysteme, B–Splines)

\underline{1. Aufgabe} (1.5 Punkte)

Bei der Berechnung eines interpolierenden kubischen Splines mit natürlichen Randbedingungen ergibt sich ein symmetrisches, tridiagonales Gleichungssystem, vgl. Vorlesung. Zeigen Sie für den Spezialfall äquidistanter Stützstellen, daß die Systemmatrix positiv definit ist.

\underline{2. Aufgabe} (3 Punkte) (1+1+1)

Bei der Diskretisierung der zweiten Ableitung einer Funktion (etwa zur Lösung eines Randwertproblems gewöhnlicher Differentialgleichungen) auf einem äquidistanten Gitter x_{j} = j/n, j = 0, …, n tritt die folgende tridiagonale Matrix auf:

A = ( \begin{matrix}2 & −1 & & & 0 \\ −1 & 2 & −1 \\ & ... & ... & ... \\ & & −1 & 2 & −1 \\ 0 & & & −1 & 2 \end{matrix} ) ∈ ℝ^{(n−1)×(n−1)}

a) Weisen Sie nach, daß A positiv definit ist.

b) Spezialisieren Sie den Algorithmus für die Cholesky–Zerlegung auf den Fall einer tridiagonalen Matrix.

c) Geben Sie die die Cholesky–Zerlegung von A explizit an.

\underline{3. Aufgabe} (2 Punkte)

Sei φ^{(1)} der lineare B–Spline mit supp φ^{(1)} = [x_{1}, x_{3}] und x_{i} = i − 1, i = 1, 2, 3. Zeigen Sie:

φ^{(1)}(x) = ∑_{k=0}^{2} h_{k} φ^{(1)}(2x − k),

mit h_{0} = h_{2} = 1/2 und h_{1} = 1. Verdeutlichen Sie den Sachverhalt anhand einer Grafik.

\underline{4. Aufgabe} (3.5 Punkte) (1+2.5)

Gegeben sei die Knotenmenge Δ = {x_{0}, …, x_{2^{m}}} ⊂ [0, 1] mit x_{k} = k/2^{m}, k = 0, …, 2^{m}. Sei {φ_{1}^{(1)}, …, φ_{n}^{(1)}} die B–Spline–Basis des Raumes der linearen Splines bzgl. Δ. Zeigen Sie

a) Es ist

φ_{k}^{(1)}(x) = φ^{(1)}(2^{m}x − (k − 2)) , k = 2, …, n − 1,

wobei φ^{(1)} den linearen B–Spline aus der 3. Aufgabe bezeichnet.

b) Es gilt die Normäquivalenz

\frac{2^{−m}}{6} ∑_{k=1}^{n} γ_{k}^{2} ≤ ∥ ∑_{k=1}^{n} γ_{k} φ_{k}^{(1)}∥_{L^{2}(0,1)}^{2} ≤ 2^{−m} ∑_{k=1}^{n} γ_{k}^{2} ,

wobei die γ_{k} ∈ ℝ für k = 1, …, n sind.
Hier bezeichnet ∥f∥_{L^{2}(0,1)}^{2} = ∫_{0}^{1} |f(x)|^{2} dx die L^{2}–Norm von f.

Hinweis: Zeigen Sie ∥ ∑_{k=1}^{n} γ_{k} φ_{k}^{(1)}∥_{L^{2}(0,1)}^{2} = ⟨g, Ag⟩_{ℝ^{n}} mit g = (γ_{1}, …, γ_{n})^{⊤} und A = (a_{ij})_{i,j=1,...,n}, a_{ij} = ⟨φ_{i}^{(1)}, φ_{j}^{(1)}⟩_{L^{2}(0,1)}. Die Matrix A ist dann positiv definit.

Abgabe der Lösungen zu den theoretischen Aufgaben am Di, 13.2.01 vor der Vorlesung.

Prof. A. Arnold / M. Ehrhardt

Proseminar aus der angewandten Mathematik im SS 2001:

“Modellierung mit Differentialgleichungen”

Anwendungsthemen:

Kristallisationsprozess, Verkehrsfluß, Räuber–Beute–Systeme für Fischbestände, Modellierung von Farbmuster auf Tierfellen,...

Ziele:

- Erstellung von (einfachen) mathematischen Modellen zu deren Beschreibung

- analytische bzw. numerische Lösung der erhaltenen Differentialgleichungen

- Interpretation der Ergebnisse

Voraussetzungen: Praktische Mathematik, Gewöhnliche Differentialgleichungen Teilnehmer: Studierende der Mathematik, Lehramt Mathematik, Physik Vorbesprechung: Mittwoch, 21.2., 16 c.t., Gebäude 36.1, Raum U12