Universität des Saarlandes Wintersemester 2000/2001 Fachbereich Mathematik Prof. Dr. A. Arnold / M. Ehrhardt

15. Übungsblatt zur Vorlesung “Praktische Mathematik” (Newton–Cotes–Formeln)

\underline{1. Aufgabe} (2 Punkte)

Betrachten Sie die Quadraturformel S(f) = A (f(x_{1}) + f(x_{2})) zur Berechnung von I = ∫_{−1}^{1} f(x) dx. Wie sind A, x_{1} und x_{2} zu wählen, damit diese Formel für Polynome möglichst hohen Grades exakt ist?

\underline{2. Aufgabe} (2.5 Punkte) (1+1.5)

Zeigen Sie für die Gewichte

d_{i} = \frac{b − a}{2} ∫_{−1}^{1} ∏_{\begin{matrix}j=0 \\ j≠i \end{matrix}}^{n} \frac{t − t_{j}}{t_{i} − t_{j}} dt, i = 0, 1, …, n

der Newton–Cotes–Formel S_{n}(f) = ∑_{i=0}^{n} d_{i}f(x_{i}) die Eigenschaften

a) ∑_{i=0}^{n} d_{i} = b − a

b) d_{n−i} = d_{i} im Spezialfall äquidistanter Knoten t_{i} = −1 + i 2/n, i = 0, 1, …, n

Hinweis zu b): Zeigen Sie zunächst, daß für die Lagrangeschen Basispolynome L_{n} gilt: L_{n−i}(x) = L_{i}(b + a − x), x ∈ [a, b].

\underline{3. Aufgabe} (2.5 Punkte) (1.5+1)

Die offenen Newton–Cotes–Formeln zur Berechnung von I(f) = ∫_{a}^{b} f(x) dx haben die Form

S_{n}(f) = ∑_{i=0}^{n} d_{i} f(x_{i}) ,

wobei die Stützstellen x_{i} gegeben sind durch

x_{i} = a + (i + 1) h , i = 0, …, n mit h = \frac{b − a}{n + 2} .

a) Berechnen Sie für n = 2 die Gewichte d_{i}, so daß S_{n} für alle Polynome vom Grad ≤ n exakt ist. b) Ermitteln Sie für n = 2 eine Näherung für das Integral

I(f) = ∫_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{x}}

und berechnen Sie den Fehler |I(f) − S_{2}(f)|.

\underline{4. Aufgabe} (3 Punkte)

Die Quadraturformel S_{n}(f) = ∑_{i=0}^{n} d_{i} f(x_{i}), d_{i} ∈ ℝ, x_{i} ∈ [a, b], x_{i} ≠ x_{j}, i ≠ j, 0 ≤ i, j ≤ n sei exakt für Polynome vom Grad ≤ m. Zeigen Sie: Ist f ∈ C^{m+1}([a, b]), so hat das Restglied

E(f) = ∫_{a}^{b} f(x) dx − S_{n}(f)

die Darstellung

E(f) = \frac{1}{m!} ∫_{a}^{b} (\frac{1}{m + 1} (b − t)^{m+1} − ∑_{i=0}^{n} d_{i} (x_{i} − t)_{+}^{m}) f^{(m+1)}(t) dt .

Dabei ist

(x_{i} − t)_{+}^{m} = \begin{cases}(x_{i} − t)^{m}, & falls x_{i} ≥ t , \\ 0, & falls x_{i} < t . \end{cases}

Die Punkte dieses Übungsblattes gehen nicht in die zu erreichende Punktzahl ein. Wer bisher noch nicht die erforderlichen 50% erreicht hat, kann mit diesen Aufgaben sein Punktekonto aufstocken.

Abgabe der Lösungen zu den theoretischen Aufgaben am Di, 20.2.01 vor der Vorlesung.