Universität des Saarlandes Wintersemester 2000/2001 Fachbereich Mathematik Prof. Dr. A. Arnold / M. Ehrhardt

3. Übungsblatt zur Vorlesung “Praktische Mathematik” (Kondition, Stabilität, Cholesky–Verfahren)

\underline{1. Aufgabe} (2 Punkte) Betrachten Sie für x > 0 die Funktionsauswertung

f(x) = \frac{cos(x) − 1}{x}.

a) Berechnen Sie die relative Konditionszahl κ_{rel}(x) = \frac{|f′(x)|}{|f(x)|} |x| des Problems.

b) Ist die Auswertung für x ≈ 0 gut konditioniert?

c) Berechnen Sie f(10^{−k}), k ∈ {1, …, 5} mit dreistelliger Genauigkeit und geben Sie den relativen Fehler des Ergebnisses an.

\underline{2. Aufgabe} (3 Punkte) Eine Approximation der Exponentialfunktion durch die abgebrochene Taylorreihe ist

exp(x) ≈ ∑_{k=0}^{N} \frac{x^{k}}{k!} .  (∗)

Es soll der Wert exp(−5.5) durch folgende zwei Algorithmen approximiert werden: a) Mit Hilfe der Formel (∗),

b) exp(−5.5) = 1/ exp(5.5) und exp(5.5) wird mit Formel (∗) berechnet. Untersuchen Sie die Stabilität der zwei Algorithmen. Inwiefern spielt dabei die Wahl von N eine Rolle? \underline{3. Aufgabe} (3 Punkte) Sei f(x) = \frac{1}{x−1} − \frac{1}{x+1} für x ∈ ℝ\\{−1, 1\} =: D.

a) Für welche x∈D ist die Auswertung von f(x) gut bzw. schlecht konditioniert?

b) Geben Sie einen Algorithmus zur Berechnung von f(x) an, der für x > 2 stabil ist.

Hinweis für 2. Aufgabe und 3. Aufgabe:

Bei der Untersuchung der Algorithmen hinsichtlich der Stabilität gehen Sie dazu davon aus, daß die Ergebnisse der einzelnen Schritte mit einem Fehlerfaktor 1 + ε_{i} mit |ε_{i}| ≤ eps behaftet sind. Analysieren Sie den relativen Fehler, der so im Ergebnis entsteht. Verwenden Sie dabei nur lineare Fehlerterme, d.h. vernachlässigen Sie Faktoren der Form ε_{i} · ε_{j} bzw. ε_{i}^{k}.

\underline{4. Aufgabe} (2 Punkte)

Gegeben sei ein Vektor x = (x_{1}, …, x_{n})^{⊤} mit positiven Elementen x_{j}, j = 1, …, n, und die Matrix A = (a_{ij}) ∈ ℝ^{n×n} gemäß

a_{ij} := min{i, j} · x_{i} x_{j} .

a) Berechnen Sie für n = 3 die Cholesky–Zerlegung von A.

b) Überlegen Sie sich, ausgehend von Teil a), die Cholesky–Zerlegung von A für beliebiges n und beweisen Sie Ihre Vermutung.

Abgabe der Lösungen zu den theoretischen Aufgaben am Di, 14.11. vor der Vorlesung.

weitere Literatur zur Vorlesung: R. Plato, Numerische Mathematik kompakt, Vieweg, 2000.