Universität des Saarlandes Wintersemester 2000/2001 Fachbereich Mathematik Prof. Dr. A. Arnold / M. Ehrhardt

5. Übungsblatt zur Vorlesung “Praktische Mathematik” (Gram–Schmidt–Orthogonalisierung, lineare Ausgleichsprobleme)

\underline{1. Aufgabe} (1 Punkt)

Sei Q ∈ ℝ^{n×n} eine orthogonale Matrix. Zeigen Sie, daß sich die Kondition von A ∈ ℝ^{n×n} durch Multiplikation mit Q nicht ändert, d.h. es gilt:

κ_{2}(QA) = κ_{2}(A).

Dabei werde die Kondition bzgl. der 2-Norm berechnet.

\underline{2. Aufgabe} (3 Punkte)

Die in der Vorlesung besprochene Gram–Schmidt–Orthogonalisierung ist zur Berechnung von QR–Zerlegungen zu instabil. Betrachten Sie dazu die Berechnung der ersten zwei Spalten von Q und R aus einer gegebenen regulären Matrix A = (a_{1}, …, a_{n}) ∈ ℝ^{n×n}:

r_{11} := ∥a_{1}∥ , q_{1} := \frac{1}{r_{11}} · a_{1} ,
r_{12} := q_{1}^{⊤}a_{2} , q̃_{2} := a_{2} − r_{12} q_{1} , r_{22} := ∥q̃_{2}∥ , q_{2} := \frac{q̃_{2}}{r_{22}} .

a) Zeigen Sie:

(i) q_{2} ⊥ q_{1},

(ii) r_{22} = \sqrt{∥a_{2}∥^{2} − | < a_{2}, q_{1} > |^{2}}.

b) Wird das Skalarprodukt q_{1}^{⊤}a_{2} fehlerbehaftet berechnet, d.h. r_{12}(δ) = r_{12} + δ, so ergibt sich für den Winkel zwischen den Spalten q_{1} und q_{2}(δ), die mit dem fehlerbehafteten r_{12}(δ) berechnet wird, in 1. Näherung:

α(δ) ≐ \frac{π}{2} + \frac{δ}{r_{22}} .

Interpretieren Sie dieses Ergebnis im Zusammenhang mit der Stabilität des Algorithmus.

\underline{3. Aufgabe} (3 Punkte)

Durch die Punkte

\begin{matrix}x_{k} & −1 & −\frac{1}{2} & 1 & 2 \\ y_{k} & 0 & −\frac{1}{2} \sqrt{7} & −2 & \sqrt{3} \end{matrix}

soll ein Kreis gelegt werden. Leiten Sie dazu aus der Kreisgleichung und den Daten durch Einführung neuer, geeigneter Parameter ein lineares Ausgleichsproblem her und lösen Sie dieses. Welchen Kreis beschreibt diese Lösung? Es genügt, die Rechnungen auf zwei Nachkommastellen exakt durchzuführen.

\underline{4. Aufgabe} (3 Punkte)

Um den Standort des Piratensenders ’Radio Powerplay’ festzustellen, werden fünf Peilwagen eingesetzt, mit denen die Richtungen zum Sender ermittelt werden. Die Aufstellung der Wagen ist in einem (x, y)–Koordinatensystem gegeben, und die Tangenswerte der Richtungswinkel α sind von der positiven x–Achse im Gegenuhrzeigersinn gemessen.

Peilwagen  1  2  3  4  5
x–Koordinate  8  22  36  10  13
y–Koordinate  0  7  18  20  10
tan α  1  −1/2  1/2  −1  0

Stellen Sie die Situation anhand einer Skizze dar. Welches sind die mutmaßlichen Koordinaten des Senders?

Abgabe der Lösungen zu den theoretischen Aufgaben am Di, 28.11. vor der Vorlesung.