Universität des Saarlandes Wintersemester 2000/2001 Fachbereich Mathematik Prof. Dr. A. Arnold / M. Ehrhardt

9. Übungsblatt zur Vorlesung “Praktische Mathematik” (Potenzmethode, Satz von Gerschgorin)

\underline{1. Aufgabe} (1.5 Punkte (0.5+1))

Gegeben sei die Matrix

A = (\begin{matrix}−1 & 3 \\ −2 & 4 \end{matrix}) ∈ ℝ^{2×2} .

a) Berechnen sie die Eigenwerte von A.

b) Führen Sie 4 Schritte der Potenzmethode

x_{k+1} = Ax_{k}, k = 0, …, 3

ausgehend vom Startwert x_{0} = (1, 0)^{⊤} durch. Vermuten Sie einen Eigenvektor zum betragsgrößten Eigenwert und beweisen Sie Ihre Vermutung.

\underline{2. Aufgabe} (2 Punkte)

Zu der Matrix

A = (\begin{matrix}0 & 1 & −2 \\ 1 & 10 & 0 \\ −2 & 0 & −1 \end{matrix})

soll der betragsmäßig größte Eigenwert λ_{max} und der zugehörige Eigenvektor durch die Potenzmethode (Vektoriteration) mit Startvektor x^{(0)} = (0, 1, 0)^{⊤} bestimmt werden. Führen Sie 4 Schritte des Verfahrens aus. Überprüfen Sie die Güte der drei Approximationen λ̃_{j} = x_{j}^{(4)}/x_{j}^{(3)}, 1 ≤ j ≤ 3, an λ_{max} mit Hilfe des Satzes (∗). Für welche Approximation erhält man die beste Fehlerabschätzung in der ∥·∥_{2}–Norm?

\underline{Satz} (∗): Die hermitesche n × n–Matrix A habe die Eigenwerte λ_{1}, …, λ_{n}. Dann gilt für λ ∈ ℝ und x ∈ ℂ^{n}, x ≠ 0, die Abschätzung

min_{1≤j≤n} |λ − λ_{j}| ≤ \frac{∥Ax − λx∥_{2}}{∥x∥_{2}} .

\underline{3. Aufgabe} (3.5 Punkte (1+1+1.5))

Wir betrachten die inverse Potenzmethode (inverse Iteration) zur Bestimmung von Eigenvektoren symmetrischer Matrizen. Sei dazu α eine sehr gute Näherung an den Eigenwert λ_{j} der Matrix A. Offensichtlich ist das Gleichungssystem (A−αI) y = x beliebig schlecht konditioniert, je nachdem, wie gut der Näherungswert α ist. Es stellt sich daher die Frage, ob die Lösung noch sinnvolle Information enthält. Wir nehmen nun an, daß y aufgrund von Rundungsfehlern die folgende Gleichung erfülle:

(A − αI − H) y = x + f.

a) Zeigen Sie: Für den Gesamtfehler e gilt

e = (A − αI)^{−1} g

mit g = f + Hy.

b) Zerlegen Sie g in den Anteil in Richtung des Eigenvektors v_{j} und in Richtung u mit u ⊥ v_{j}. Finden Sie damit eine orthogonale Zerlegung von e.

c) Zeigen Sie: Für den Winkel η zwischen v_{j} und e, gilt:

tan η ≤ \frac{|λ_{j} − α|}{min_{k≠j} |λ_{k} − α|} tan ψ mit ψ = ∠(g, v_{j}).

Interpretieren Sie dieses Ergebnis.

Hinweis: Verwenden Sie die Spektraldarstellung von A:

Ax = ∑_{j=1}^{n} λ_{j} ⟨x, x_{j}⟩ x_{j} , mit x_{1}, …, x_{n} ONB des ℂ^{n}, λ_{j} ∈ ℝ.

\underline{4. Aufgabe} (3 Punkte (1.5+1.5))

a) Beweisen Sie mit Hilfe des Satzes (∗): Ist A = (a_{ij}) ∈ ℂ^{n×n} hermitesch, so gibt es zu jedem Diagonalelement a_{ii} einen Eigenwert λ der Matrix A, der der Ungleichung

|λ − a_{ii}| ≤ ( ∑_{\begin{matrix}j=1 \\ j≠i \end{matrix}}^{n} |a_{ij}|^{2})^{1/2}

genügt. Ist diese Aussage stärker oder schwächer als der Satz von Gerschgorin?

b) Benutzen Sie die Abschätzung aus Teil a) um zu zeigen, daß die Matrix

(\begin{matrix}0 & 0.3 & −0.7 & 0.6 \\ 0.3 & −2.5 & 1.2 & −0.5 \\ −0.7 & 1.2 & 4.5 & 0.5 \\ 0.6 & −0.5 & 0.5 & 2 \end{matrix})

genau einen Eigenwert im Intervall [1,3] hat.

Abgabe der Lösungen zu den theoretischen Aufgaben am Di, 9.1.2001 vor der Vorlesung.

*Wir wünschen allen Hörern ein gesegnetes Weihnachtsfest*

*und einen guten Rutsch ins neue Jahr 2001!*