Universität des Saarlandes Sommersemester 2002 Fachrichtung 6.1 – Mathematik Dr. M. Ehrhardt

10. Übungsblatt zur Vorlesung “Theorie und Numerik hyperbolischer Erhaltungsgleichungen” (Hochgenaue Methoden: Flußbegrenzung, Anstiegsbegrenzung)

\underline{1. Aufgabe} (4 Punkte)

Überprüfen Sie, daß die Methode mit Anstiegsbegrenzung für u_{t} + au_{x} = 0, a > 0 ist:

U_{j}^{n+1} = U_{j}^{n} − ν(U_{j}^{n} − U_{j−1}^{n}) − \frac{1}{2}ν(1 − ν)(hσ_{j}^{n} − hσ_{j−1}^{n}),

indem Sie die stückweise lineare Funktion

ũ^{n}(x, t_{n}) = U_{j}^{n} + σ_{j}^{n}(x − x_{j}), x ∈ [x_{j−1/2}, x_{j+1/2})

auf dem Intervall [x_{j−1/2} − ak, x_{j+1/2} − ak] integrieren. (Warum ?) Zeigen Sie weiterhin, daß für beliebiges Vorzeichen von a gilt:

U_{j}^{n+1} = U_{j}^{n} − ν(U_{j_{1}}^{n} − U_{j_{1}−1}^{n}) − \frac{1}{2}ν(sgn ν − ν)(hσ_{j_{1}}^{n} − hσ_{j_{1}−1}^{n})

mit

j_{1} = \begin{cases}j & für a > 0 \\ j + 1 & für a < 0 \end{cases} .

\underline{2. Aufgabe} (6 Punkte)

Sei σ_{pj} der Anstiegsvektor für das p-te Feld eines linearen Systems:

σ_{jp} = β_{jp}r_{p} ∈ ℝ^{m}

mit

β_{jp} = \frac{1}{h} minmod(V_{j+1,p} − V_{jp}, V_{jp} − V_{j−1,p}) = \frac{1}{h} minmod(α_{jp}, α_{j−1,p}).

Weiterhin sei

θ_{jp} = \frac{α_{j_{p}p}}{α_{jp}} , mit j_{p} = j − sgn(ν_{p})

und ϕ die minmod-Anstiegsbegrenzung ϕ(θ) = max(0, min(1, θ)). Zeigen Sie, daß dann der numerische Fluß der Methode mit Anstiegsbegrenzung

F (U; j) = F_{L}(U; j) + \frac{1}{2} ∑_{p=1}^{m} λ_{p}(sgn(ν_{p}) − ν_{p})hσ_{j_{p}p}

identisch ist mit dem numerischen Fluß der Methode mit Flußbegrenzung, sofern man

σ_{j_{p}p} = ϕ(θ_{jp})(\frac{α_{jp}}{h} )r_{p}

setzt (Verallgemeinerung von σ_{j} = θ_{j}(U_{j+1} − U_{j})/h).

\underline{3. Aufgabe} (10 Punkte)

Lösen Sie numerisch die folgende skalare Advektionsgleichung

\frac{∂u}{∂t} + \frac{1}{2} \frac{∂u}{∂x} = 0, −1 < x < 2, t > 0

mit homogenen Neumann-Randbedingungen

u_{x}(−1, t) = u_{x}(2, t) = 0, t > 0

und stückweise konstanten Anfangsdaten

u(x, 0) = \begin{cases}0.25 & , −1 ≤ x < −0.5 \\ 0.75 & , −0.5 ≤ x < −0.1 \\ 1.5 & , −0.1 ≤ x < 0.6 \\ 1.75 & , 0.6 ≤ x ≤ 2 \end{cases} .

Implementieren Sie hierzu das Godunov-Verfahren sowie das Verfahren mit Minmod-Anstiegsbegrenzung. Vergleichen Sie die Resultate mit denen vom Lax-Friedrichs-Schema (5. Übungsblatt) und Lax-Wendroff-Schema (6. Übungsblatt). Plotten Sie die Lösungen im Intervall [−0.2, 1.4] jeweils zum Zeitpunkt T = 1 für die zwei Situationen Δt = 1/200, Δx = 1/100 und Δt = 1/800, Δx = 1/400.

Abgabe der Lösungen zu den theoretischen Aufgaben am Di, 2.7. vor der Vorlesung. Abgabe der Lösungen zu der praktischen Aufgabe am Di, 2.7. vor der Vorlesung.