Universität des Saarlandes Sommersemester 2002 Fachrichtung 6.1 – Mathematik Dr. M. Ehrhardt

6. Übungsblatt zur Vorlesung “Theorie und Numerik hyperbolischer Erhaltungsgleichungen” (Numerik linearer Systeme: Numerische Diffusion und Dispersion)

\underline{1. Aufgabe} (6 Punkte (2+2+2))

a) Zeigen Sie, daß das Lax-Wendroff-Schema zum Lösen von u_{t} + Au_{x} = 0 :

U_{j}^{n+1} = U_{j}^{n} − \frac{k}{2h}A(U_{j+1}^{n} − U_{j−1}^{n}) + \frac{k^{2}}{2h^{2}} A^{2}(U_{j+1}^{n} − 2U_{j}^{n} + U_{j−1}^{n})  (1)

eine Approximation dritter Ordnung zu der modifizierten Gleichung

u_{t} + Au_{x} = \frac{h^{2}}{6} A (\frac{k^{2}}{h^{2}} A^{2} − I) u_{xxx}  (2)

ist.

b) Programmieren Sie das Schema (1) für das Problem

u_{t}(x, t) + u_{x}(x, t) = 0,
u(1, t) = u(−1, t) für t ∈ [0, ∞)

und untersuchen Sie, was in den folgenden zwei Situationen passiert:

(i) u(x, 0) = \frac{x^{2}}{2} (\frac{x^{2}}{2} − 1), x ∈ [−1, 1] mit k = \frac{1}{50} und h = \frac{1}{30}

(ii) u(x, 0) = \begin{cases}1 & , −1 ≤ x < 0 \\ 0 & , 0 ≤ x ≤ 1 \end{cases} mit k = \frac{1}{200} und h = \frac{1}{100}.

Plotten Sie das Resultat am Zeitpunkt T =2 und kommentieren Sie es in Hinblick auf (2).

\underline{2. Aufgabe} (4 Punkte)

Berechnen Sie die modifizierte Gleichung der expliziten Euler-Methode

U_{j}^{n+1} = U_{j}^{n} − \frac{k}{2h}A(U_{j+1}^{n} − U_{j−1}^{n}).

Erklären Sie, weshalb diese Methode für alle k/h instabil sein wird.

Abgabe der Lösungen zu den theoretischen Aufgaben am Di, 28.5. vor der Vorlesung. Abgabe der Lösungen zu der praktischen Aufgabe am Di, 4.6. vor der Vorlesung.