Universität des Saarlandes Sommersemester 2002 Fachrichtung 6.1 – Mathematik Dr. M. Ehrhardt

8. Übungsblatt zur Vorlesung “Theorie und Numerik hyperbolischer Erhaltungsgleichungen” (Konservative Verfahren: Approximative Riemann–Löser)

\underline{1. Aufgabe} (3 Punkte)

Zeigen Sie, daß das Lax-Wendroff–Verfahren zur Lösung von u_{t}+au_{x} = 0 hergeleitet werden kann, indem man u(x_{j} − ak, t_{n}) mittels quadratischer Interpolation an den Punkten U_{j−1}^{n}, U_{j}^{n}, U_{j+1}^{n} approximiert. Benutzen Sie diese Interpretation, um zu erklären, warum Oszillationen an einer Unstetigkeitsstelle beim Lax-Wendroff–Verfahren, aber nicht beim Upwind oder Lax-Friedrichs auftreten.

\underline{2. Aufgabe} (4 Punkte)

Überprüfen Sie, daß bei der numerischen Berechnung der approximativen Riemann– Lösung ŵ(x/t) betrachtet als exakte Riemann–Lösung einer modifizierten Erhaltungsgleichung û_{t} + f̂(û)_{x} = 0 die resultierende numerische Flußfunktion gegeben ist durch

F (u_{l}, u_{r}) = f̂(ŵ(0)) + f(u_{r}) − f̂(u_{r}).

\underline{3. Aufgabe} (3 Punkte)

Bestimmen Sie eine Roe–Matrix für die Flachwasserwellengleichung

(\begin{matrix}v \\ φ \end{matrix})_{t} + (\begin{matrix}v^{2}/2 + φ \\ vφ \end{matrix})_{x} = 0.

Abgabe der Lösungen zu den theoretischen Aufgaben am Di, 11.6. vor der Vorlesung.