Technische Universität Berlin Wintersemester 05/06 Fakultät II – Institut für Mathematik Dr. M. Ehrhardt

2. Übungsblatt zur Vorlesung “Asymptotische Analysis” (Asymptotische Lösung von (Differential-)Gleichungen)

\underline{1. Aufgabe} (4 Punkte (1+1+1+1))

Bestimmen Sie für jede Lösung x der folgenden Gleichungen eine 2–Term asymptotische Entwicklung (für ε klein):

a) x^{2} + (2 + ε)x + 1 + ε = 0. (UE)

b) x^{2} + (1 − ε − ε^{2})x + ε − 2e^{ε^{2}} = 0. (UE)

c) εx^{3} − 3x + 1 = 0. (UE)

d) ε^{2}x^{3} − x + ε = 0.

e) x^{2} + \sqrt{1 + εx} = e^{\frac{1}{2+ε}}.

f) x^{2} + ε\sqrt{2 + x} = cos(ε).

g) x = ∫_{0}^{π} e^{ε sin(x+s)} ds.

\underline{2. Aufgabe} (4 Punkte)

Eine wichtige, aber schwierige Aufgabe der numerischen linearen Algebra ist die Berechnung von Eigenwerten einer Matrix. Einer der Gründe hierfür ist, daß die Nullstellen des charakteristischen Polynoms sehr empfindlich von den Werten der Koeffizienten der Gleichung abhängen. Ein bekanntes Beispiel hierzu von Wilkinson (1964) ist die folgende Gleichung

x^{20} − (1 + ε)210x^{19} + 20.615x^{18} + ⋯ + 20! = 0,

die auch in der folgenden Form geschrieben werden kann:

(x − 1)(x − 2) … (x − 20) = 210εx^{19}.

a) Bestimmen Sie für jede Nullstelle dieser Gleichung eine 2–Term asymptotische Entwicklung (für ε klein).

b) Die Entwicklung in Teil a) hat die Form f ∼ x_{0} + ε^{α}x_{1}. Basierend auf diesem Resultat stellt sich die Frage: Wie klein muß man ε wählen, so daß |x − x_{0}| < 10^{−2} ist? Ist es fair zu sagen, daß ein anscheinend kleiner Fehler in der Genauigkeit der Koeffizienten der Gleichung eine enorme Auswirkung auf die Werte der Nullstellen hat?

\underline{3. Aufgabe} (2 Punkte)

Betrachten Sie das (skalierte) Projektil–Problem

\frac{d^{2}y}{dτ^{2}} = −\frac{1}{(εy + 1)^{2}} , für τ > 0,

wobei y(0) = 0 und y′(0) = 1 ist. In der Vorlesung wurde gezeigt, daß durch

y(τ) ∼ τ(1 − \frac{1}{2}τ) + \frac{1}{3}ετ^{3}(1 − \frac{1}{4}τ)  (*)

eine 2–Term Entwicklung der Lösung für kleines ε gegeben ist. Diese Approximation gilt für 0 ≤ τ ≤ τ_{h}, wobei τ_{h} > 0 der Rückkehrzeitpunkt (d.h. y(τ_{h}) = 0) ist. Nehmen Sie die asymptotische Entwicklung τ_{h} ∼ τ_{0} + ετ_{1} an und bestimmen Sie τ_{0}, τ_{1} von (*). Begründen Sie physikalisch, warum τ_{1} positiv ist.

\underline{4. Aufgabe} (UE)

Wenn man im Projektil–Problem den Luftwiderstand berücksichtigt, erhält man die Gleichung

\frac{d^{2}x}{dt^{2}} = −\frac{gR^{2}}{(x + R)^{2}} − \frac{k}{x + R} \frac{dx}{dt},

wobei k eine nichtnegative Konstante ist. Weiterhin sei x(0) = 0 und x′(0) = v_{0}.

a) Was ist die entdimensionalisierte Version dieses Problems, wenn man die ‘richtige’ Skalierung aus der Vorlesung benutzt.

b) Bestimmen Sie eine 2–Term Entwicklung der Lösung für kleines ε. Nehmen Sie dazu an, daß α = kv_{0}/gR unabhängig von ε ist.

\underline{Hinweis:} y_{1} hat die Form αy_{1}(τ) = ∫_{0}^{τ} f(s) ds − e^{−ατ} ∫_{0}^{τ} f(s)e^{αs} ds.

c) Erhöht oder erniedrigt die Hinzunahme des Luftwiderstandes die Flugzeit?

\underline{5. Aufgabe} (UE)

Betrachten Sie die folgende Differenzengleichung zweiter Ordnung

y_{n+1} − 2y_{n} + y_{n−1} = (α + εf_{n})y_{n}, für n = 1, 2, 3, …,

wobei α eine positive Konstante und f_{n} = (1/2)^{n} ist.

a) Bestimmen Sie eine 2–Term Entwicklung der Lösung für kleines ε.

b) Es sei y_{0} = 1, y_{1} = 0 und α = 2. Berechnen Sie die exakte Lösung und die 2–Term Entwicklung aus Teil a) für n = 2, 3, …, 10. Kommentieren Sie die Genauigkeit der Approximation.

• Die Aufgaben mit (UE) werden in der Übung am Do, 17.11. vorgerechnet.

• Abgabe der Lösungen zu den Aufgaben am Fr, 25.11. vor der Vorlesung.