Technische Universität Berlin Wintersemester 05/06 Fakultät II – Institut für Mathematik Dr. M. Ehrhardt

7. Übungsblatt zur Vorlesung “Asymptotische Analysis” (WKB–Methode)

\underline{1. Aufgabe} (10 Punkte)

Bestimmen Sie mit Hilfe der WKB–Methode eine approximative Lösung zu dem Einführungsbeispiel aus Abschnitt 2.1:

εy′′ + 2y′ + 2y = 0, für 0 < x < 1, wobei y(0) = 0 und y(1) = 1.

Vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit

a) der zusammengesetzten asymptotischen Entwicklung

y(x) ∼ e^{1−x} − e^{1−2x/ε}

und

b) der exakten Lösung

y(x) = \frac{e^{r_{+}x} − e^{r_{−}x}}{e^{r_{+}} − e^{r_{−}}} mit εr_{±} = −1 ± \sqrt{1 − 2ε}.

\underline{2. Aufgabe} (UE)

Bestimmen Sie mit Hilfe der WKB–Methode eine approximative Lösung zu dem Beispiel für mehrere Grenzschichten aus Abschnitt 2.2:

ε^{2}y′′ + εxy′ − y = −1, für 0 < x < 1, wobei y(0) = 0 und y(1) = 3.

Vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit der zusammengesetzten asymptotischen Entwicklung (vgl. Abschnitt 2.2).

\underline{3. Aufgabe} (UE)

In der Theorie des kollektiven Ruins (Peters und Mangel, 1990) stößt man auf die Variable R(x), die die Wahrscheinlichkeit ist, Resourcen für Notfälle (d.h. Risikoreserven) zu haben. Sie erfüllt die Integro–Differentialgleichung

εβ(x)R′ − R + λ ∫_{0}^{x/ε} R(x − εy)e^{−λy} dy = 0, für 0 < x < ∞,

wobei R(x) → 1 für x → ∞. Weiterhin ist λ eine positive Konstante und β(x) eine glatte positive Funktion. a) Bestimmen Sie die exakte Lösung, falls β eine positive Konstante ist. Erklären Sie,

warum man λβ > 1 fordern muß.

b) Bestimmen Sie, ausgehend von den Beobachtungen aus Teil a), den ersten Term einer WKB–Entwicklung der Lösung, falls β nicht konstant ist. Welche Bedingungen muß man an λ und β stellen?

• Die Aufgaben mit (UE) werden in der Übung am Do, 9.2. vorgerechnet.

• Abgabe der Lösungen zu den Aufgaben am Fr, 17.2. vor der Vorlesung.