Technische Universität Berlin Wintersemester 06/07 Fakultät II – Institut für Mathematik Dr. M. Ehrhardt

3. Übungsblatt zur Vorlesung “Asymptotische Analysis”

(Zusammengesetzte asymptotische Entwicklungen, mehrere und innere Grenzschichten)

\underline{1. Aufgabe} (UE)

Ein Modellproblem (Friedrichs, 1942) für eine Grenzschicht in einem viskosen Fluid lautet

εy′′ = a − y′, für 0 < x < 1,

wobei y(0) = 0, y(1) = 1 und a eine gegebene positive Konstante ist. Bestimmen Sie den ersten Term der inneren und äußeren Entwicklung und leiten Sie eine zusammengesetzte Entwicklung der Lösung dieses Problems her.

\underline{2. Aufgabe} (4 Punkte (2+2))

Finden Sie die zusammengesetzte Entwicklung der Lösung der folgenden Probleme:

a) εy′′ + 2y′ + y^{3} = 0, für 0 < x < 1, wobei y(0) = 0, y(1) = 1/2.

b) εy′′ = f(x) − y′, für 0 < x < 1, wobei y(0) = 0, y(1) = 1, f stetig.

c) εy′′ + (1 + 2x)y′ − 2y = 0, für 0 < x < 1, wobei y(0) = ε, y(1) = sin(ε). (UE)

d) εy′′ + y′ + y = ∫_{0}^{1} K(εx, s)y(s) ds, für 0 < x < 1, wobei y(0) = 1, y(1) = −1. Weiterhin ist K(x, s) = e^{−s(1+x)}. (UE)

\underline{3. Aufgabe} (2 Punkte)

In der modifizierten Version des Grodsky–Modells der Insulinabgabe (Carson et al., 1983) sucht man eine Funktion y = y(t, λ), so dass

ε\frac{dy}{dt} = −y + f(t) + ∫_{0}^{∞} y(t, λ) e^{−γλ} dλ, für t > 0,

wobei y = g(λ) an t = 0. Weiterhin ist γ > 1.

a) Finden Sie eine zusammengesetzte Entwicklung der Lösung für kleines ε. (UE)

b) Leiten Sie die zusammengesetzte Entwicklung aus Teil a) von der exakten Lösung

y(t, λ) = [g(λ) − εγg_{0}(1 − e^{− \frac{t}{εγ}})] e^{− \frac{t}{ε}} + ∫_{0}^{t} f(τ) e^{− \frac{γ−1}{εγ} (t−τ)} dτ,

mit g_{0}(γ) = ∫_{0}^{∞} g(λ) e^{−γλ} dλ her. Wie lautet die zusammengesetzte Entwicklung im Fall γ = 1?

\underline{4. Aufgabe} (4 Punkte (2+2))

Bestimmen Sie eine zusammengesetzte Entwicklung für die folgenden Probleme und skizzieren Sie die Lösung:

a) εy′′ + ε(x + 1)^{2}y′ − y = x − 1, für 0 < x < 1, wobei y(0) = 0, y(1) = −1.

b) ε\frac{d}{dx}(E(x)\frac{u′}{1−εu′} ) − u = f(x), für 0 < x < 1, wobei u(0) = u(1) = 0. (UE) E(x) und f(x) sind gegebene, glatte, positive Funktionen.

c) εy′′ + y(1 − y)y′ − y = 0, für 0 < x < 1, wobei y(0) = y(1) = −2.

\underline{5. Aufgabe} (UE)

Die Reynoldsgleichung der Schmierungstheorie für einen Gleitschieber lautet (DiPrima, 1968; Shepherd, 1978)

ε\frac{d}{dx}(H^{3}yy′) = \frac{d}{dx}(Hy), für 0 < x < 1,

wobei y(0) = y(1) = 1 ist. H(x) ist hier eine gegebene, glatte, positive Funktion mit H(0) ≠ H(1). Bestimmen Sie eine zusammengesetzte Entwicklung für kleines ε. Beachten Sie, daß die Grenzschichtlösung zwar implizit definiert ist, aber dennoch die beiden Entwicklungen zusammengesetzt werden können.

• Die Aufgaben mit (UE) werden in der Übung am Fr, 1.12. vorgerechnet.

• Abgabe der Lösungen zu den Aufgaben am Do, 7.12. vor der Vorlesung.