Technische Universität Berlin Wintersemester 07/08 Fakultät II – Institut für Mathematik PD Dr. M. Ehrhardt

Extra 6. Übungsblatt zur Vorlesung “Asymptotische Analysis” (Mehrskalenmethoden für Differenzengleichungen)

\underline{1. Aufgabe} (UE)

Diese Aufgabe behandelt die Genauigkeit von verschiedenen finite Differenzen Approximationen zur numerischen Lösung von nichtlinearen Differentialgleichungen der Form:

y′′(t) + y + εy^{3} = 0, für t > 0.  (1)

Es sei nun y_{n} eine Approximation an y(t_{n}), wobei t_{n} = nh mit der Zeitschrittweite h.

(i) Die erste Differenzengleichung kommt von einer Standard–Differenzenapproximation der 2. Ableitung:

y_{n+1} − 2y_{n} + y_{n−1} = −h^{2}(y_{n} + εy_{n}^{3}).  (2)

Diese Gleichung ist dieselbe Gleichung wie in der Vorlesung.

(ii) Als 2. Methode betrachten wir die Trapezregel (Crank–Nicolson). Dies führt zu dem Schema

y_{n+1} − 2y_{n} + y_{n−1} = −\frac{h^{2}}{2} [y_{n+1} + y_{n−1} + ε(y_{n+1}^{3} + y_{n−1}^{3})].  (3)

(iii) Die 3. Methode benutzt die Simpsonregel in der Herleitung; sie lautet

y_{n+1} − 2y_{n} + y_{n−1} = −\frac{h^{2}}{6} [y_{n+1} + 4y_{n} + y_{n−1} + ε(y_{n+1}^{3} + 4y_{n}^{3} + y_{n−1}^{3})]. (4)

Wir haben somit drei verschiedene Differenzenverfahren 2. Ordnung, mit denen wir (1) lösen wollen.

a) Bestimmen Sie für kleines ε den ersten Term einer Entwicklung der Lösung von (1), der für grosse Werte von t gültig ist.

b) Bestimmen Sie für kleines ε eine 1–Term Entwicklung der Lösung von (2), (3) und (4), der für grosse Werte von n gültig ist.

c) Vergleichen Sie die Ergebnisse aus Teil a) und b). Was kann man über die relative Genauigkeit der finite Differenzenapproximation aussagen? Von Interesse ist hier die Lösung für kleine Werte von h. Zum Beispiel: Führt die (diskrete) Phase θ dazu, dass die numerische Lösung schneller oder langsamer als die asymptotische (analytische) Lösung ist?

\underline{1. Aufgabe} (UE)

Bei einem Problem der Populationsgenetik ist man an dem Teil g_{n} der Population in der n-ten Generation mit einem bestimmten genetischen Merkmal interessiert. Das Fisher– Wright–Haldane Modell hierfür ist:

g_{n+1} = \frac{r_{n}g_{n}^{2} + s_{n}g_{n}(1 − g_{n})}{r_{n}g_{n}^{2} + 2s_{n}g_{n}(1 − g_{n}) + t_{n}(1 − g_{n})^{2}} , für n = 1, 2, 3, ….

Nehmen Sie an, dass r_{n} = 1 + ερf(n), s_{n} = 1 + εσf(n) und t_{n} = 1 + ετf(n) ist mit den Konstanten ρ, σ und τ. f(n) ist eine positive Funktion mit der Periode N, d.h. f(n + N) = f(n). Aufgrund der Definition von g_{n}, muss 0 ≤ g_{n} ≤ 1 gelten. Dies ist z.B. der Fall, wenn für den Startwert 0 ≤ g_{1} ≤ 1 gilt.

a) Verwenden Sie eine Entwicklung analog zur Vorlesung und bestimmen Sie so eine 1–Term Approximation von g_{n} für kleines ε, die für grosses n gültig ist. Nehmen Sie dazu an, dass (zumindest) eine der zwei Konstanten α = σ − τ, β = ρ − 2σ + τ ungleich Null ist.

b) Bestimmen Sie mit Hilfe des Ergebnisses aus Teil a) eine 1–Term Approximation von den möglichen Stationärzuständen für g_{n}. Unter welchen Bedingungen an die Konstanten α und β und dem Startwert g_{1} hat der Stationärzustand g_{∞} die Eigenschaft 0 < g_{∞} < 1 ?

Referenz: F.C. Hoppensteadt, Mathematical Methods in Population Biology, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1982.

• Die Aufgaben mit (UE) werden in der Übung am Di, 29.1. vorgerechnet.