Technische Universität Berlin Wintersemester 08/09 Fakultät II – Institut für Mathematik PD Dr. M. Ehrhardt

1. Übungsblatt zur Vorlesung “Asymptotische Analysis” (Ordnungssymbole und asymptotische Approximationen)

\underline{1. Aufgabe} (2 Punkte (1+1))

Welche Werte von α (wenn überhaupt) liefern f = O(ε^{α}) bzw. f = o(ε^{α}) für ε ↓ 0 ?

a) f = \sqrt{1 + ε^{2}}. (UE)

b) f = ε sin(ε). (UE)

c) f = (1 − e^{ε})^{−1}.

d) f = ln(1 + ε).

\underline{2. Aufgabe} (4 Punkte (2+2))

a) Zeigen Sie: f = O(ε^{α}) für ε ↓ 0 ⟹ f = o(ε^{β}) für ε ↓ 0 für jedes β < α. (UE)

b) Zeigen Sie: Wenn f = O(g) für ε ↓ ε_{0}, dann |f|^{α} = O(|g|^{α}) für ε ↓ ε_{0} für jedes positive α.

c) Geben Sie ein Beispiel an, um zu zeigen daß f = O(g) für ε ↓ ε_{0} nicht notwendigerweise e^{f} = O(e^{g}) für ε ↓ ε_{0} impliziert.

\underline{3. Aufgabe} (2 Punkte)

Sind die folgenden Sequenzen wohlgeordnet (für ε ↓ 0) ? Falls nicht, ordnen Sie sie derart an, daß sie es sind oder erklären Sie, warum dies unmöglich ist.

a) ϕ_{1} = e^{ε} − 1 − ε, ϕ_{2} = e^{ε} − 1, ϕ_{3} = e^{ε}, ϕ_{4} = e^{ε} − 1 − ε − \frac{1}{2}ε^{2}. (UE)

b) ϕ_{1} = ε^{5}e^{−3/ε}, ϕ_{2} = ε, ϕ_{3} = ε ln(ε), ϕ_{4} = e^{−ε}, ϕ_{5} = \frac{sin(ε^{3})}{ε}, ϕ_{6} = \frac{1}{ln(ε)}.

\underline{4. Aufgabe} (2 Punkte)

Es gelte f ∼ a_{1}ε^{α} +a_{2}ε^{β} +. . .. Bestimmen Sie α, β (mit α < β) und nichtverschwindende a_{1}, a_{2} für die folgenden Funktionen:

a) f = [1 + \frac{1}{cos(ε)}]^{3/2}. (UE)

b) f = sinh(\sqrt{1 + εx}), für 0 < x < ∞.

\underline{5. Aufgabe} (UE)

Der Entropiesprung [[S]] über eine Schockwelle in einem Gas ist gegeben durch die Formel (Cole und Cook, 1986):

[[S]] = c_{v} ln (\frac{1 + \frac{γ−1}{2} ε}{1 − \frac{γ+1}{2} ε} (1 − ε)^{γ}) ,

mit c_{v} > 0, γ > 1 und der Schockstärke ε. Bestimmen Sie eine 1–Term Entwicklung des Entropiesprungs für einen schwachen Schock (d.h. ε << 1).

• Die Aufgaben mit (UE) werden in der Übung am Di, 4.11. vorgerechnet.

• Abgabe der Lösungen zu den Aufgaben am Do, 6.11. vor der Vorlesung.