Technische Universität Berlin Wintersemester 08/09 Fakultät II – Institut für Mathematik PD Dr. M. Ehrhardt

5. Übungsblatt zur Vorlesung “Asymptotische Analysis” (Mehrskalenmethode und langsam variierende Koeffizienten)

\underline{1. Aufgabe} (4 Punkte)

Bestimmen Sie mit Hilfe der Mehrskalenmethode für die folgenden Anfangswertprobleme eine 1-Term–Entwicklung, die für große t gültig ist.

a) y′′ + ε(y′)^{3} + y = 0, für t > 0, wobei y(0) = 0, y′(0) = 1. (UE) (Hinweis: cos^{3} ϕ = \frac{1}{4}[3 cos ϕ + cos(3ϕ)])

b) εy′′ + εαy′ + y + εy^{3} = 0, für t > 0, wobei y(0) = 0, y′(0) = 1 und α ist eine positive Konstante.

\underline{2. Aufgabe} (UE)

Die Gleichung für die Winkelauslenkung θ(t) eines Pendels lautet

θ′′ + sin(θ) = 0, für t > 0,

wobei θ(0) = ε und θ′(0) = 0 ist. Bestimmen Sie eine 1-Term–Entwicklung der Lösung im Falle von kleinen Oszillationen der Amplitude (d.h. ε << 1), die für große Werte von t gültig ist.

\underline{3. Aufgabe} (6 Punkte (2+2+2))

Betrachten Sie den langsam variierenden ungedämpften Oszillator aus der Vorlesung:

y′′ + k^{2}(εt)y = 0, für t > 0, wobei y(0) = a, y′(0) = b.

a) Man entwickle k(εt) mit Hilfe des Satzes von Taylor (für ε klein) und wende dann eine Standard-Mehrskalentransformation: t_{1} = t, t_{2} = ε^{α}t an. Wie verhält sich der erste Term im Vergleich zu

y ∼ \frac{1}{\sqrt{k(εt)}} (α_{0} sin(∫_{0}^{t} k(ετ) dτ)β_{0} cos(∫_{0}^{t} k(ετ) dτ)) ?  (*)

Für welches Zeitintervall gilt diese Entwicklung? b) Zeigen Sie, daß die schnelle Zeitskala

f(t, ε) = ∫_{0}^{t} k(ετ) dτ

die folgenden Bedingungen erfüllt.

(i) f(t, ε) ist positiv und wächst mit t, (ii) εt << f für ε ↓ 0, (iii) f(t, ε) ist glatt. Ist es nötig, daß f(0, ε) = 0 gilt?

c) Ändert sich (*), wenn man anstatt von t_{2} = εt die Zeitskala t_{2} = εt_{1} nimmt?

\underline{4. Aufgabe} (UE) Betrachten Sie das Problem

\frac{d}{dt}(D(εt)\frac{dy}{dt} ) + y = 0, für t > 0, wobei y(0) = α, y′(0) = β.

Der Koeffizient D(τ) ist hierbei eine glatte positive Funktion mit D′ > 0. Bestimmen Sie eine 1-Term–Entwicklung der Lösung, die für große Werte von t gültig ist.

• Die Aufgaben mit (UE) werden in der Übung am Di, 13.1.09 vorgerechnet.

• Abgabe der Lösungen zu den Aufgaben am Do, 15.1.09 vor der Vorlesung.